Acreditar la identidad en la ley para el proceso estocástico impulsado por el Movimiento Browniano

Question

Deje $B = (B_t)_{t\geq 0}$ ser un estándar de movimiento browniano comenzó a $0$. Considere los dos siguientes ecuaciones estocásticas: \begin{equation} \begin{split} dX_t &=& (13 + 2X_t)\,dt + (6 + X_t)\,dB_t \\ dY_t &=& 2Y_t\,dt + Y_t\,dB_t \end{split} \end{equation} con $X_0 = Y_0 = 1$.

Estoy tratando de mostrar que la siguiente identidad en la leyse tiene: $$ X_t - Y_t\left(1 + 6\int_0^t\frac{1}{Y_s}\,dB_s \right) \stackrel{ley}{=} 7\int_0^tY_s\,ds $$

La combinación de $X$$Y$, puede ser demostrado a través de la Ito de la fórmula que la solución para $X$ está dado por $$ X_t = Y_t\left(1 + 7\int_0^t\frac{1}{Y_s}\,ds + 6\int_0^t\frac{1}{Y_s}\,dB_s \right) $$

Pero estoy teniendo problemas al operar con la primera ecuación para trabajar la ley de la identidad, y la solución para $X$ no está realmente ayudando a mí. Cualquier sugerencia es bienvenida, ya que estoy un poco perdido ahora. Sospecho que la solución puede no ser trivial.

Answer 1

Tenga en cuenta que la solución de la SDE, $\mathrm dY_t = 2Y_t\mathrm dt + \mathrm dB_t\ (\mbox{for }Y_0 = 1)$, es una colección de los log-normal de las variables aleatorias,

$$ Y_t = e^{\frac{3}{2}t + B_t}~(\mbox{para }t\geqslant 0)\,. $$

Por lo tanto, para $0\leqslant s\leqslant t$,

$$ \left\{\frac{Y_t}{Y_s}\right\}_{0\leqslant s\leqslant t}\quad \stackrel{\text{ley}}{=}\quad \left\{Y_{s}\right\}_{0\leqslant s\leqslant t}\,.\la etiqueta{1} $$

prueba:

Para$n\in\mathbb{N}$$0\leqslant t_1<t_2<\ldots<t_n\leqslant t$, el tiempo de reversión de las propiedades de movimiento Browniano justificar los siguientes:

$ \,\,\,P\left(\frac{Y_t}{Y_{t_1}}\leqslant y_1,\ \ldots,\ \frac{Y_t}{Y_{t_n}}\leqslant y_n\right)\\ \begin{eqnarray*} &=& P\left(\frac{3}{2}(t-t_1) + B_t - B_{t_1}\leqslant \log y_1,\ \ldots,\ \frac{3}{2}(t-t_n) + B_t - B_{t_n}\leqslant \log y_n \right) \\ &=& P\left( B_t - B_{t_1}\leqslant \log y_1 - \frac{3}{2}(t-t_1),\ \ldots,\ B_t - B_{t_n}\leqslant \log y_n - \frac{3}{2}(t-t_n) \right) \\ &=& P\left( -(B_{t-r_1}-B_t)\leqslant \log y_1 - \frac{3}{2}r_1,\ \ldots,\ -(B_{t-r_n}-B_t)\leqslant \log y_n - \frac{3}{2}r_n \right) \\ &=& P\left( B_{t-r_1}-B_t\leqslant \log y_1 - \frac{3}{2}r_1, \ldots, B_{t-r_n}-B_t\leqslant \log y_n - \frac{3}{2}r_n \right) \\ &=& P\left( B_{r_1}\leqslant \log y_1 - \frac{3}{2}r_1,\ \ldots,\ B_{r_n}\leqslant \log y_n - \frac{3}{2}r_n \right) \\ &=& P\left( \frac{3}{2}r_1 + B_{r_1}\leqslant \log y_1,\ \ldots,\ \frac{3}{2}r_n + B_{r_n}\leqslant \log y_n \right) \\ &=& P\left(Y_{r_1}\leqslant y_1,\ \ldots,\ Y_{r_n}\leqslant y_n\right), \end{eqnarray*} $

donde definimos $r_i:=t-t_i\ .$

La igualdad en la ley, $(1)$, implica $$ \int_0^t \frac{Y_t}{Y_s} \, ds \stackrel{\text{ley}}{=} \int_0^t Y_s \, ds\,, $$

que, a partir de la aplicación del lema de Ito y como se deduce por @saz, es la relación que deben probarse.