Demostrar que $A_p$ tiene un subgrupo de orden 2p si y sólo si $p \equiv 1 \pmod 4$

Question

Sea p un primo impar. Demostrar que $A_p$ tiene un subgrupo de orden 2p si y sólo si $p \equiv 1 \pmod 4$

Tengo que si p es un primo impar y G es de orden 2p, entonces $G \cong C_{2p}$ o $G \cong D_p$ pero no sé exactamente cómo utilizarlo.

Si asumo que $A_p$ tiene un subgrupo de orden 2p, entonces sé que $C_{2p} \leq A_p$ o $D_p \leq A_p$ .

Además como existe un subgrupo de orden 2p, $2p \vert \frac{p!}{2} \Rightarrow 4 \vert p! \Rightarrow 4 \vert (p-1)!$

¿Es esto correcto hasta ahora?

Answer 1

$S_n$ actúa sobre un polígono con $n$ vértices etiquetados, por lo que $A_p$ actuará sobre un $p$ -gon también. Ahora $D_p$ será un subgrupo de $S_p$ naturalmente; para ver si es un subgrupo de $A_p$ debemos comprobar si sus elementos son pares, lo que significa que sólo necesitamos comprobar si un par de generadores (una rotación y un giro) son pares como permutaciones. Una rotación es $(123\cdots p)$ y una de las vueltas es $(2~p)(3~p-1)\cdots(\tfrac{p+1}{2}~\tfrac{p+3}{2})$ como sabemos $p$ es impar. La rotación es uniforme. ¿Cuántos ciclos hay en el giro?

Ahora para cuando $p\equiv3~(4)$ . Consideremos dos casos: primero, un elemento de orden $2p$ . Los lcm de los ciclos en su representación de ciclos disjuntos tienen lcm = $2p$ , por lo que o bien sólo tiene un $p$ -ciclo y $2$ -ciclos (cuyo número se duplica a $p$ imposible) o el elemento es en sí mismo un $2p$ -ciclo (imposible). Segundo caso: un elemento $\pi$ de orden $p$ y una involución $\sigma$ tal que $\langle\pi,\sigma\rangle\cong D_p$ o, de forma equivalente (mediante la teoría de las presentaciones de grupos) $\sigma \pi\sigma^{-1}=\pi^{-1}$ . Mostrar $\pi=(12\cdots p)$ se puede suponer wlog, entonces considera el hecho de que $\sigma \pi\sigma^{-1}=(\sigma(1)\sigma(2)\cdots\sigma(p))$ cuántos $2$ -ciclos es $\sigma$ un producto de y por lo tanto para el cual $p$ es $\sigma$ ¿Incluso?