Vi esta fórmula en este documento página 2
π(n)=n∑j=2sin2(π(j−1)!2j)sin2(πj)π(n)=n∑j=2sin2(π(j−1)!2j)sin2(πj)
Dónde π(n)π(n) es la función de recuento de primos. ¿Es esto cierto? ¿Cómo demostrarlo?
Vi esta fórmula en este documento página 2
π(n)=n∑j=2sin2(π(j−1)!2j)sin2(πj)π(n)=n∑j=2sin2(π(j−1)!2j)sin2(πj)
Dónde π(n)π(n) es la función de recuento de primos. ¿Es esto cierto? ¿Cómo demostrarlo?
Introduce algunos valores en la suma y verás que los términos son simplemente 00 si jj es compuesto y 11 si jj es primo. Así que no hay nada profundo que entender sobre la suma completa, sólo tenemos que ver cómo el sumando determina la primalidad. Está claro que hay que entender el comportamiento de (n−1)!modn.(n−1)!modn.
Si nn es compuesto, podemos escribir n=a×bn=a×b donde a,b<n.a,b<n. Si a≠b,a≠b, entonces ambos aa y bb aparecen en los términos de (n−1)!(n−1)! entonces (n−1)!=0modn.(n−1)!=0modn. Si a=b,a=b, entonces ambos aa y 2a2a aparecen en los términos de (n−1)!(n−1)! de nuevo y es 0modn0modn de nuevo a menos que n=4.n=4. En ese caso, sólo tenemos que calcular 3!=2mod4.3!=2mod4.
Supongamos n=pn=p es primo. La ecuación m2=1modpm2=1modp tiene como máximo 22 soluciones desde Z/(p) es un campo, y estas soluciones son 1,−1. No hay otros elementos de Z/(p) que son autoinversos, por lo que en la lista de factores de (p−1)!=1⋅2⋯(p−1) podemos emparejar todos los términos, excepto 1 y p−1, con su inversa distinta, por lo que (p−1)!=1⋅(p−1)=−1modp.
Introduciendo ahora esta información en el sumando, vemos que los términos son 0 si n es compuesto y 1 si n es primo, por lo que la suma representa la función de recuento primo.
La forma más sencilla de que esta proposición fuera cierta sería que f(j)=sin2(π(j−1)!2j)sin2(πj) es igual a 1 si j es primo, y 0 en caso contrario. Resulta que éste es el caso.
En primer lugar, demostraré que si j es compuesto, entonces f(j)=0 . Es bien sabido que si j es compuesto (y no igual a 4), entonces j|(j−1)! . En este caso, sólo necesitamos que j|(j−1)!2 que se cumple para cualquier compuesto j y puede demostrarse observando que si j es compuesto, entonces se puede escribir j=ab donde 1<a,b<j . Pero entonces a|(j−1)! y b|(j−1)! y tan obviamente j=ab|(j−1)!2 . Vemos que si j es compuesto, f(j)=0 ya que el argumento del sin en el numerador es un múltiplo entero de π .
Supongamos ahora que j es primo. Entonces, por el Teorema de Wilson, tenemos que (j−1)!≡−1 mod j y así (j−1)!2≡1 mod j .
Así pues, podemos escribir (j−1)!2=1+kj para algún número entero k, por lo que
π(j−1)!2j=πj+kπ
Pero entonces sin2(π(j−1)!2j)=sin2(πj+kπ)=sin2(πj) desde sin(πj+kπ)=±sin(πj) dependiendo de si k es impar o incluso. Esto demuestra que f(j)=1 .
Esto demuestra que la suma en cuestión es efectivamente π(n)
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