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Fórmula de la función de recuento de primos

Vi esta fórmula en este documento página 2

π(n)=nj=2sin2(π(j1)!2j)sin2(πj)

Dónde π(n) es la función de recuento de primos. ¿Es esto cierto? ¿Cómo demostrarlo?

4voto

larryb82 Puntos 158

Introduce algunos valores en la suma y verás que los términos son simplemente 0 si j es compuesto y 1 si j es primo. Así que no hay nada profundo que entender sobre la suma completa, sólo tenemos que ver cómo el sumando determina la primalidad. Está claro que hay que entender el comportamiento de (n-1)! \mod n.

Si n es compuesto, podemos escribir n= a\times b donde a,b < n. Si a\neq b, entonces ambos a y b aparecen en los términos de (n-1)! entonces (n-1)! = 0\mod n. Si a=b, entonces ambos a y 2a aparecen en los términos de (n-1)! de nuevo y es 0\mod n de nuevo a menos que n=4. En ese caso, sólo tenemos que calcular 3! = 2\mod 4.

Supongamos n=p es primo. La ecuación m^2=1\mod p tiene como máximo 2 soluciones desde \mathbb{Z}/(p) es un campo, y estas soluciones son 1, -1. No hay otros elementos de \mathbb{Z}/(p) que son autoinversos, por lo que en la lista de factores de (p-1)! = 1\cdot 2 \cdots (p-1) podemos emparejar todos los términos, excepto 1 y p-1, con su inversa distinta, por lo que (p-1)! = 1\cdot (p-1) = -1\mod p.

Introduciendo ahora esta información en el sumando, vemos que los términos son 0 si n es compuesto y 1 si n es primo, por lo que la suma representa la función de recuento primo.

4voto

Dylan Puntos 2371

La forma más sencilla de que esta proposición fuera cierta sería que \displaystyle f(j)=\frac{\sin^2\left(\pi\frac{(j-1)!^2}{j}\right)}{\sin^2\left(\frac{\pi}{j}\right)} es igual a 1 si j es primo, y 0 en caso contrario. Resulta que éste es el caso.

En primer lugar, demostraré que si j es compuesto, entonces f(j)=0 . Es bien sabido que si j es compuesto (y no igual a 4), entonces j\,|\,(j-1)! . En este caso, sólo necesitamos que j\,|\,(j-1)!^2 que se cumple para cualquier compuesto j y puede demostrarse observando que si j es compuesto, entonces se puede escribir j=ab donde 1<a,b<j . Pero entonces a\,|\,(j-1)! y b\,|\,(j-1)! y tan obviamente j=ab\,|\,(j-1)!^2 . Vemos que si j es compuesto, f(j)=0 ya que el argumento del \sin en el numerador es un múltiplo entero de \pi .

Supongamos ahora que j es primo. Entonces, por el Teorema de Wilson, tenemos que (j-1)!\equiv -1\,\text{ mod }j y así (j-1)!^2\,\equiv 1\,\text{ mod }j .

Así pues, podemos escribir (j-1)!^2=1+kj para algún número entero k, por lo que

\displaystyle \pi\frac{(j-1)!^2}{j}=\frac{\pi}{j}+k\pi

Pero entonces \displaystyle \sin^2\left(\pi\frac{(j-1)!^2}{j}\right)=\sin^2\left(\frac{\pi}{j}+k\pi\right)=\sin^2\left(\frac{\pi}{j}\right) desde \displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{j}+k\pi\right)=\pm\sin\left(\frac{\pi}{j}\right) dependiendo de si k es impar o incluso. Esto demuestra que f(j)=1 .

Esto demuestra que la suma en cuestión es efectivamente \pi(n)

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