Es una función de $X$ "en" $Y$ ¿Inyección?

Question

Estoy trabajando en mi camino a través de Teoría de conjuntos ingenua por Halmos, y estoy tratando de resolver el ejercicio:

Supongamos que $f$ es un mapeo de $X$ en $Y$ y $g$ es un mapeo de $Y$ en $X$ . Demostrar que existen subconjuntos $A$ y $B$ de $X$ y $Y$ respectivamente, de manera que $f(A) = B$ y $g(Y - B) = X-A$ .

Este resultado se puede utilizar para dar una prueba del teorema de Schroder-Bernstein que parece bastante diferente de la anterior.

Dado el contexto, parece que decir $f$ mapas $X$ "en" $Y$ implica la inyectividad. Sin embargo, he leído opiniones contradictorias sobre si "en" implica inyectividad o si sólo significa que $Y$ es el codominio de $f$ . ¿Era "into" la jerga común para una inyección en los textos antiguos?

Answer 1

Un mapeo "desde $X$ en $Y$ " hace no implican inyectividad. El teorema citado, a veces llamado teorema de los mapas de Banach o Teorema de descomposición de Banach es válida para finciones arbitrarias $f:X\to Y$ y $g:Y\to X,$ no necesariamente inyectiva. Por supuesto, para la demostración del teorema de Schröder-Bernstein sólo se necesita el caso especial de las funciones inyectivas. Por otra parte, el "teorema de la cartografía de Banach" para funciones arbitrarias es bastante fácil de demostrar, y restringirlo a funciones inyectivas no conduce a ninguna simplificación que yo conozca.

Una pista:

La conclusión $$\exists A \exists B\ [f(A)=B\text{ and }g(Y-B)=X-A]$$ puede reescribirse como $$\exists A\ X-g(Y-f(A))=A,$$ es decir, $A$ es un punto fijo para un determinado mapeo de $\mathcal P(X)$ a $\mathcal P(X).$