Encontrar todos los $A\subseteq\mathbb{N}$ tal que $A=\{|a-b|:a,b\in A\}$.

Question

Para un conjunto $A$ de los números reales, denotan $$A^\ast:=\{|a-b|:a,b\in A\}.$$

Pregunta: Encontrar todos los subconjuntos finitos $A\subseteq\mathbb{N}$ de los números naturales tales que $$A^*=A.$$

Intento: El conjunto vacío es un trivial de la solución, así que supongamos $A\neq\emptyset$. Claramente, uno debe tener $0\in A$. También, es claro que $$A=\{0,1,2,\ldots,n\}$$ es una solución para cada una de las $n\in\mathbb{N}$. De manera más general, $$A=\{0,k,2k,\ldots,nk\}$$ es una solución para cualquier $n,k\in\mathbb{N}$. Estoy tentado a decir que estos son la única posibilidad de $A$, pero no sabe cómo demostrarlo.

Answer 1

La conjetura es correcta.

Supongamos $A=\{0,k,\ldots, s\}$ donde $k$ es el más pequeño elemento positivo de $A$, e $s$ es el más grande. A continuación,$s-k\in A^\star=A$, y, a continuación,$s-2k\in A$. Continuando de esta manera, si $s$ NO es un múltiplo de a$k$, $s-\alpha k$ $(0,k)$ algunos $\alpha$, lo que contradice la elección de $k$. Por lo tanto en el hecho de $s$ es un múltiplo de a $k$, y hemos aprendido que $$\{0,k,2k,\ldots,nk\}\subseteq A$$ Supongamos ahora hay algunos $m\in A$ que no es un múltiplo de a $k$. Desde $\{0,k,\ldots, nk\}$ cada $k$ aparte, $m$ debe tierra entre dos de ellos. Por lo tanto, hay algo de $\alpha k\in A$ tal que $0<|m-\alpha k|<k$. Pero, a continuación,$m-\alpha k\in A$, que a su vez contradice la elección de $k$.