demostrar equivalencia trigonométrica

Question

$$\sin x + \sin y = 2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$$

Quiero utilizar el $e^{ix}$ identidades pero no estoy seguro de si se puede hacer así, y mucho menos de cómo hacerlo.

Agradeceríamos cualquier consejo.

Answer 1

CONSEJO

Puede ser más fácil utilizar $$ \sin (a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b \\ \cos (a \pm b) = -(\cos^2 a \pm \sin^2 a) $$

Answer 2

En $\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$ y $\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$ recibe:

$$\require{cancel}\begin{align} \sin x+\sin y&=\sin\left(\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{2}\right)+\sin\left(\frac{x+y}{2}-\frac{x-y}{2}\right) \\[2ex] &=\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)+\cancel{\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)}\\&\qquad +\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)-\cancel{\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)} \\[2ex] &=2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) \end{align}$$

Answer 3

Según lo solicitado, probaremos la identidad de interés mediante el uso directo Identidad de Euler ,

$$e^{iz}=\cos z+i\sin z$$

A partir de aquí tenemos $\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ y $\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ . Entonces, podemos escribir

$$\begin{align} 2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)&=2\left(\frac{e^{i(x+y)/2}-e^{-i(x+y)/2}}{2i}\right)\left(\frac{e^{i(x-y)/2}+e^{-i(x-y)/2}}{2}\right)\\\\ &=\frac{e^{ix}+e^{iy}-e^{-iy}-e^{-ix}}{2i}\\\\ &=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}+\frac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i}\\\\ &=\sin x+\sin y \end{align}$$

¡como se iba a demostrar!

Answer 4

\begin{align} \sin u \cos v + \cos u \sin v & = \sin(u+v) \\ \sin u \cos v - \cos u \sin v & = \sin(u-v) \end{align}

Aplique lo anterior en el caso de que $u = \dfrac{x+y} 2$ y $v=\dfrac{x-y} 2$ :

\begin{align} \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) + \cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right) & = \sin \left( \frac{x+y}{2} + \frac{x-y}{2} \right) \\[10pt] \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) - \cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right) & = \sin \left( \frac{x+y}{2} - \frac{x-y}{2} \right) \end{align}

O en otras palabras:

\begin{align} \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) + \cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right) & = \sin x \\[10pt] \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) - \cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right) & = \sin y \end{align}

Añade los lados izquierdo y derecho:

$$ 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = \sin x + \sin y. $$

Answer 5

Pista:

Usted realmente debe saber el $3$ fórmulas de linealización: \begin{alignat*}{2} &2\cos a\cos b&&=\cos(a-b)+\cos(a+b)\\ &2\sin a\sin b&&=\cos(a-b)-\cos(a+b)\\ &2\sin a\cos b&&=\sin(a-b)+\sin(a+b) \end{alignat*} Establecer $\;a-b=x,\enspace a+b=y$ y resolver para $a$ y $b$ .