Es posible derivar $B$ $AB=C$ al $B$ no es invertible?

Question

Deje $A$ $m\times n$ matriz, $B$ $n\times k$ no invertible la matriz (donde $n<k$) y $C=AB$. Si tenemos $C$$A$, podemos derivar $B$?

Answer 1

Usted está buscando un pseudo-inversa de $A$, $A^+$, ya que, si existe, usted podría escribir: $$C = AB \ \to \ A^+C = A^+ A B=B$$ Si las filas de $A$ son independientes, entonces la pseudo inversa está dada por: $$A^+ = A^*(A A^*)^{-1}$$ Donde $A^*$ es el Hermitian transponer.

Answer 2

Deje $B_1$ $B_2$ matrices tales que el$C=AB_1$$C=AB_2$. Entonces $$ Un(B_1-B_2)=0. $$

Por el contrario, si $X$ cualquier $n\times k$ matriz tal que $AX=0$$C=AB$, luego $$ A(B+X)=AB+AX=C+0=C. $$

De esta manera, puede recuperarse $B$ si y sólo si la única solución de $AX=0$ es la matriz cero. Esto es cierto si y sólo si la única solución de $Av=0$ ($v$ una $m$-vector fila) es $v=0$, lo que equivale a $A$ tener una izquierda inversa, que es $$ m\ge n=\operatorname{rango}(A) $$