¿Cuál es la motivación para el estudio de la "libre" de las presentaciones de los grupos,incluso a pesar de que todas (o casi todas) las preguntas (o los problemas) con respecto a este tipo de presentaciones son conocidos por ser indecidible ?
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Matt Dawdy
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De una presentación, usted sabe exactamente cómo describir morfismos fuera del grupo: son las asignaciones de los elementos del grupo a los generadores que satisfacen las relaciones. Eso es un montón de información. En particular, usted puede contar el número de morfismos de cualquier finitely presentado el grupo a cualquier grupo finito.
De manera más abstracta, una presentación es un eficiente descripción del functor covariante $\text{Hom}(G, -)$ representado por un grupo de $G$ dado por la descripción de $G$ como colimit de simple grupos (a saber, la libre grupos). En general, es una buena idea en matemáticas para tratar de describir objetos complicados en términos de objetos sencillos.
Shinwari
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11
No hay nada especial acerca de la libre presentaciones. Más bien, undecidability es una propiedad intrínseca de los grupos de clase o de grupo) no de la manera que usted está mirando (ellos).
La mejor referencia que puedes encontrar de esto es la siguiente respuesta de Benjamin Steinberg a un MO pregunta. Alternativamente, usted podría tratar de analizar las pruebas a ti mismo.
Decidability de la palabra problema para un finitely generado grupo no tiene nada que ver con una presentación del grupo. No es la parte de la entrada. Si G es un finitely generado grupo con solucionable palabra problema y H es un finitely generado grupo de automorfismos de G, entonces H tiene decidable palabra problema. Existe una máquina de Turing que sabe cómo los generadores de H actuar en los generadores de G (no me preguntes cual Máquina de Turing). Esta máquina puede implementar el algoritmo que se dan.
Es un error común pensar que decidability implica algo eficaz. Simplemente se afirma la existencia de una máquina de Turing. Esta es la razón por un problema con sólo un número finito de entradas es siempre decidable aunque yo no sé qué máquina de Turing es el que dice sí en el derecho de los casos.
Finalmente, se llega al meollo del problema en un comentario.
La cosa extraña acerca de las máquinas de Turing se puede asumir que saben cualquier cantidad finita de información que es independiente de la entrada, aunque nosotros no conoce esta información. Esta es la razón por la palabra problema no depende de la elección de finito de generación del sistema. Yo no sé cómo escribir los generadores de un conjunto de textos en los generadores en el otro conjunto, pero ya que hay sólo un número finito de generadores, existe una máquina de Turing que lo hace. Sabiendo esto fija finito información mediante algoritmos puede volver a escribir cualquier palabra de entrada en el otro set de generación de energía y el uso de su palabra problema TM.
Ahora, usted pregunta ¿Cuál es la motivación para el estudio de la "libre" de las presentaciones de los grupos,incluso a pesar de que todas (o casi todas) las preguntas (o los problemas) con respecto a este tipo de presentaciones son conocidos por ser indecidible? Así, la cínica respuesta sería que no era ya de 30 años de trabajo en este tema antes de la primera "indecidible en general" resultado fue probado! Así, el mastodonte que es geométrica y la combinatoria del grupo de teoría ya había comenzado. Cambiar a algo "mejor" no habría sido posible.
La idea de buscar en presentaciones gratuitas ha sido muy fructífera, aunque. Por ejemplo, cuando Dehn primero plantea el problema de palabras demostró la siguiente observación relativa a la presentación habitual de los grupos fundamentales de cerrado, orientable superficies de género, al menos, dos: si $W=_G1$ entonces existe un cambio cíclico $R$ de el relator o la inversa de la relator de la presentación tal que $R=R_0R_1$$|R_1|>|R_0|$, e $R_1$ es un subword de $W$. La sustitución de $R_1$ $R_0^{-1}$ $W$ los rendimientos de una palabra de estrictamente menor longitud, y, por supuesto, la misma observación se sostiene. Por lo tanto, para decidir si una palabra es trivial en varias ocasiones se aplica estos reemplazos, y la palabra es trivial si y sólo si termina en el trivial de la palabra. Este algoritmo se llama "Dehn del algoritmo". Este algoritmo fue generalizado a los grupos de la llamada "pequeña cancelación" grupos, pero Gromov demostrado que no fue una idea subyacente que está ocurriendo aquí. Él demostró que un grupo tiene una presentación cuya palabra problema es soluble por Dehn del algoritmo si y sólo si el grafo de Cayley del grupo (con respecto a una arbitraria finito de generación de set) es grueso hiperbólica. Mi punto es que la presentación gratuita a menudo puede decirnos mucho sobre el grupo (y también de que se refieren a la geometría, especialmente de $3$-colectores, pero realmente no he dicho eso...pero lo hacen).
El pequeño condición de cancelación se menciono anteriormente es una condición de la presentación, que se puede "ver" simplemente mirando (aunque es indecidible si un grupo admite una presentación de este tipo). Una vez más simple de la propiedad que se puede "ver" con sólo mirar un número finito de presentación es si el grupo tiene más generadores de relatores (solo en el conteo 'em!). Entonces, es un muy buen resultado de Steve Orgullo y B. Baumslag que si su grupo tiene otros dos generadores de relatores, a continuación, su grupo tiene un número finito de índice de los subgrupos que se asigna a la libre grupo de $F_2$, mientras que Gromov y Stohr de forma independiente demostró que esto es si el grupo dispone de un generador de relator y uno de los ponentes, es una alimentación correcta. Si $G$ tiene un finito-índice de subgrupo, a continuación, se llama "Grande" o "tan Grande como $F_2$".
Finalmente, quiero terminar mi senderismo con una muy interesante problema en undecidability. Un uno-relator del grupo es una presentación de la forma $\langle X; R\rangle$ donde $R$ es una palabra más de las letras a $X^{\pm1}$. Magnus mostró, en 1932, que tales grupos han soluble palabra problema. Sin embargo, el análogo resultado de una relator semigroups todavía está abierta.
