Cómo comprobar rápidamente si los vectores son ortonormales base de un espacio vectorial?

Question

Digamos que tenemos $3$ vectores dados y necesitamos comprobar si son una ortonormales base de algunas espacio vectorial. Cómo tendría que ser hecho rápidamente? He leído en varios sitios en el Internet y este es mi resumen, me corrigen si estoy equivocado, por favor:

1. Todos los vectores deben ser linealmente independientes.
2. Los vectores son perpendiculares aka ortogonal a cada uno de los otros (si $3$ vectores dados, tengo que hacerlo como pares de $2$, ¿verdad?).
3. Cada vector tiene una longitud de $1$.

Answer 1

Si usted está utilizando un entorno de computación donde la matriz de operaciones son rápidas, se puede comprobar que

$$A^T \cdot A = I$$

donde $A$ es una matriz de la base de la columna-vectores vectores: $(i_1|i_2|i_3)$.

Tenga en cuenta que de acuerdo a la multiplicación de la matriz semántica, cada elemento de la matriz resultado se corresponde con el punto producto de un par de vectores de la base. Por lo tanto coincide exactamente con la definición de orthonormality: el punto-producto $<i_j,i_k>$ es de 1 en la diagonal (al $j = k$) y 0 en otro lugar (al $j \ne k$).

Answer 2

Eso es correcto.

1. Todos los vectores deben ser linealmente independientes

Este es, por definición, el caso para cualquier base: los vectores deben ser linealmente independientes y abarcan el espacio vectorial. Una base ortonormales es más específico, de hecho, los vectores son entonces:

• todos ortogonal a cada uno de los otros: "orto";
• todos los de la unidad de longitud: "normal".

Tenga en cuenta que cualquier base puede ser convertido en un ortonormales base mediante la aplicación de las bacterias Gram-Schmidt proceso.

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Un par de observaciones (después de los comentarios):

• el espacio vectorial debe estar equipado con un producto interior para hablar de la ortogonalidad de los vectores (que está a continuación, trabajar en lo que se denomina producto interior espacio);
• si todos los vectores que son mutuamente ortogonales, entonces definitivamente son linealmente independientes (por lo que no tiene que comprobar esto por separado, si usted llega ortogonalidad).

Answer 3

Suponga que los vectores son en 3 dimensiones el espacio Euclidiano y tienen estas coordenadas: $$(x_1,y_1,z_1), \ \ (x_2,y_2,z_2), \ \ (x_3,y_3,z_3).$$ Para verificar la ortogonalidad, compruebe lo siguiente: $$x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2+z_1\cdot z_2=0,$$ $$x_1\cdot x_3+y_1\cdot y_3+z_1\cdot z_3=0,$$ $$x_2\cdot x_3+y_2\cdot y_3+z_2\cdot z_3=0.$$

Ortonormales significa que, además de la ortogonalidad, cada vector tiene una longitud de 1. Podemos comprobar lo siguiente para asegurarse de que cada vector tiene unidad de longitud: $$x_1^2+y_1^2+z_1^2=1,$$ $$x_2^2+y_2^2+z_2^2=1,$$ $$x_3^2+y_3^2+z_3^2=1.$$

Answer 4

Lo que escribes es correcto, y que es exactamente la definición de bases ortonormales.

Si en la distancia Euclídea espacios, ustedes saben que podemos comprobar la dependencia lineal por su determinante, que es la única cosa que la materia fácil.

Answer 5

Hablamos de Ortogonalidad en un espacio vectorial cuando se tiene un producto interior( que es una generalización de producto escalar) definido sobre él. Leer sobre el Producto Interior de los Espacios aquí -> https://en.wikipedia.org/wiki/Inner_product_space

Digamos que tenemos un Innerproduct espacio de $X$= (X, < , > ) donde la dimensión de X como un espacio vectorial es 3 , entonces se dice que dado los vectores $x$ ,$y$ y $z$ forma un $orthonormal$ $basis$ si < x , y > = 0 , < x , z > = 0 y < y , z > = 0 también < x , x >=1 , < y , y > = 1 y < z , z > = 1. En realidad ortonormales de vectores son de todos modos linealmente independientes, por lo que no necesita de verificación para la independencia lineal de los vectores por separado.