Supongamos $f$ es diferenciable en a $(0, \infty)$ $\lim_{x \to \infty} f'(x) = 0$

Question

Supongamos $f$ es diferenciable en a$(0, \infty)$$\lim_{x \to \infty} f'(x) = 0$.

Quiero demostrar que la $f$ es uniformemente continua en a $[1, \infty)$.

Así que supongamos que la hipótesis de modo que tenemos $\lim_{x \to \infty} f'(x) = 0$. Ahora no debe existir $M$ tal que $x > M$ implica $|f'(x)| < \epsilon$ (todavía no he decidido nada sobre este $\epsilon$). Si $x > M$, luego por el MVT, $\exists y, M< y < x$, de tal manera que $\frac{f(x) - f(M)}{x - M} = f'(y) < \epsilon$, lo que implica que $f(x) < (x- M)\epsilon + f(M).$

¿Cómo debo introducir $y \in [1, \infty)$, o más específicamente $f(y)$ en la desigualdad anterior?

El deseado estado de cuenta es para todos los $\epsilon > 0$, hay un $\delta > 0$ tal que $|x-y| < \delta$ $x ,y \in [1, \infty)$ implica $|f(x) - f(y)| < \epsilon$.

También hace $\lim_{x \to \infty} f(x)$ no necesita ser finito aquí?

Answer 1

Elija $b>1$ tal que $|f'|<1$ $[b,\infty).$ Deje $\epsilon>0.$ $f$ es diferenciable en a $(0,\infty),$ por lo tanto $f$ es continua en a$(0,\infty).$, En particular, $f$ es continua en a $[1,2b],$ un conjunto compacto. Por lo tanto, $f$ es uniformemente continua en a $[1,2b].$ por lo tanto, no existe $\delta > 0$ tal que $|f(y)-f(x)| < \epsilon$ $x,y \in [1,2b],|y-x| < \delta.$ Deje $d'= \min(\delta,1,\epsilon).$ sabemos que estamos bien si $x,y \in [1,2b],|y-x| < \delta'.$ Si $|y-x|< \delta'$ y uno de $x,y$ es mayor que $2b,$, en tanto $x,y \in [b,\infty).$ por lo tanto, por el MVT, $|f(y) - f(x)| = |f'(c)(y-x)| < 1\cdot|y-x| < \epsilon.$, con Lo que en todos los casos, si $x,y\in [1,\infty)$ $|y-x|< \delta',$ $|f(y)-f(x)|< \epsilon.$