¿Esta integral converge?

Question

WolframAlpha dice que $$\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \frac 1{(1+x^2+y^2+z^2)^2} \, dx \, dy \, dz$$ converge, pero no puede calcular las integrales que son más de tres variables.

¿Esta integral $$\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \frac 1{(1+x^2+y^2+z^2+w^2)^2} \, dx \, dy \, dz \, dw$$ convergen?

En general, no esta integral $$\int_{\mathbb R^n} \frac 1{(1+|x|^2)^2} \, dx$$ convergen?

Answer 1

Cambie a la forma esférica de coordenadas y de integrar la parte angular de la primera. Esto le dará $(1+r^2)^2$ en el denominador y el área correspondiente de la (hiper)esfera en la que el numerador (para la función es esféricamente simétrica). Usted realmente no tiene que conocer la zona, ya que basta con saber que es $\sim r^{n-1}$. Claramente, la 3 es la máxima dimensión en la que esta converge.

Answer 2

Deje $S(R)$ ser la medida de $\{x_1^2+\ldots+x_n^2=R^2\}$. Es obviamente $S(1)\cdot R^{n-1}$.

En el otro lado:

$$ \int_{\mathbb{R}^n}\frac{1}{(1+\left|x\right|^2)^2}\,dx = \int_{0}^{+\infty}\frac{S(R)}{(1+R^2)^2}\,dR = S(1)\cdot\int_{0}^{+\infty}\frac{R^{n-1}}{(1+R^2)^2}\,dR$$ es convergente sólo para $n\leq 3$, y: $$ \int_{\mathbb{R}^3}\frac{dx\,dy\,dz}{(1+x^2+y^2+z^2)^2} = 4\pi\cdot\frac{\pi}{4}=\color{red}{\pi^2}.$$