Lógica incorrecta en la popular prueba de la irracionalidad de la $\sqrt2$?

Question

Un popular prueba de la irracionalidad de la $\sqrt2$ es en primer lugar, supongamos que el número es racional. Esto significa que $\sqrt2=a/b$ donde $a$ $b$ son enteros. Otro supuesto es que el $a$ $b$ son coprime. Resulta que esto lleva a una contradicción. Y la conclusión es que el $\sqrt2$ no es racional (debido a que el supuesto de racionalidad llevó a una contradicción). Pero, ¿qué acerca de la segunda suposición? Lógicamente, la conclusión podría ser también que $a$ $b$ no coprime..

Cómo se puede resolver?

Answer 1

Que $a$ $b$ son coprime no es una hipótesis, es simplemente el hecho de que cualquier número racional puede escribirse en una forma de modo que el numerador y el denominador son coprime. La única suposición es que el $\sqrt 2$ es racional.

Answer 2

Usted no necesita asumir que $a$ $b$ son coprime.

Si $\sqrt 2= a/b$$a,b\in \mathbb Z$,$2b^2=a^2$. Ahora cuente el número de factores de $2$ a cada lado: a la izquierda, se obtiene un número impar de factores de $2$, mientras que en la derecha se llega a un número de factores.

Answer 3

Si te gusta, puedes proceder de la siguiente manera: supongamos que $\sqrt{2}$ es racional. A continuación, puede ser expresado en la forma $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ para enteros positivos $a$ $b.$ Elegir una representación con $a$ tan pequeño como sea posible: a continuación, $a$ $b$ no tienen ningún factor común mayor que $1$, para los si $a = ec$ $b = ed$ para enteros positivos $c,d,e$ $e > 1,$ $\sqrt{2} = \frac{c}{d},$ lo cual es una contradicción ya que el $0 < c < a$.

Answer 4

Recordar que si $a=km$$b=kn$, luego tenemos a $$\frac ab=\frac{kn}{km}=\frac nm.$$

Establecimiento $k=\gcd(a,b)$ asegura que $n$ $m$ son coprime, y que podemos tomar como nuestra fracción, para empezar. Así que la derivada de la contradicción no contradice esta suposición, sino que tal $a$ $b$ no puede existir.

Answer 5

Creo que el problema aquí no es incorrecta la lógica, sino más bien una suposición tácita de que está en todas partes tácitamente. Esto es lo que se conoce a menudo como el Bien-Principio de Ordenación de la Propiedad.

Cada conjunto no vacío de enteros positivos tiene al menos un elemento.

Esta propiedad no es cierto de muchos conjuntos - por ejemplo, todos los números enteros, positivos reales, etc (el uso de la costumbre de ordenar y de otros axiomas, por supuesto).

Así que cuando @Geoff dice, en un post anterior,

Elegir una representación con un tan pequeño como sea posible: entonces a y b puede no tener ningún factor común mayor que 1

este es implícitamente el uso de este (y posiblemente también en valor absoluto).

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Su principal punto; naturalmente, también se puede concluir $a$ $b$ no coprime! Se podría concluir que uno de ellos no es un número entero (que no es exactamente el mismo que la conclusión de $\sqrt{2}$ es irracional, sólo que esta representación no es la racional rep). Supongo que se podría concluir que la $\sqrt{2}$ no existe.

Sin embargo, vamos a ver, ¿qué sucede entonces. Si asumo $a$ $b$ no coprime, entonces por todos los demás puestos deben compartir un factor, y así podemos reducir - y, a continuación, iniciar la prueba. Normalmente uno podría pensar que se podría seguir haciendo esto para siempre, pero por lo que la versión del Teorema Fundamental de la Aritmética o de otras herramientas que te gusta (todo lo cual dependerá de la Bien-Principio de orden para evitar la regresión infinita) seguirá recibiendo los factores de menor tamaño y, finalmente, pulse el "más pequeño". @lhf muy elegante respuesta de hace unos minutos se puede pensar de esta manera.

Ahora, se PODRÍA concluir que el WOP no es correcto. Pero ahora están empezando a sugerir que la conclusión lógica es que los enteros no tienen las propiedades que asociamos con los números enteros - en cuyo caso demostrando $\sqrt{2}$ es irracional es, probablemente, que no es particularmente interesante.