Forma cerrada de la secuencia $a_{n+1}=a_n^2+1$

Question

Si $$a_{n+1}=a_n^2+1,$$ con $a_1=\frac{1}{2}$ inicial. ¿Cómo resolver este problema de secuencia, es decir, cómo representar $a_n$ de forma cerrada?

Answer 1

EDIT: La respuesta a continuación supone que $a_1$ es un número entero, por lo que no es directamente aplicable a tu pregunta, pero lo dejo aquí en caso de que las personas puedan hacer uso de los resultados mencionados en el documento a continuación.

Aho y Sloan demostraron que para secuencias como la tuya, existe una constante $k$ tal que

$$a_n = \lfloor k^{2^n} \rfloor$$

para valores suficientemente grandes de $n$. $k$ puede ser definido como el límite de una secuencia utilizando $a_n$ en sí mismo. ¡Si incluyes $k$ como una de tus constantes en forma cerrada, habrás terminado!

Consulta su documento para más detalles: http://www.fq.math.ca/Scanned/11-4/aho-a.pdf

Por supuesto, para tu caso especial, aún se podría encontrar una "forma cerrada" diferente que podría resultarte más atractiva.

Answer 2

La recurrencia $a_{n+1} = a_n^2+c$ tiene una forma cerrada (conocida) si y solo si $c=0$ o $c=-2`. Ver esta respuesta para más explicación.

Answer 3

Tal vez dejemos $a_n=\tan \theta_n$. Entonces $\tan \theta_{n+1}=\sec^2 \theta_n$. Entonces, $\tan \theta_2=\sec^2 \theta_1$, $\tan \theta_3=1+\sec^4 \theta_1$, etc. No estoy seguro si este procedimiento producirá una forma cerrada.