Las sumas de las potencias como las competencias de la suma

Question

Estoy buscando la literatura en la resolución de problemas de la forma $$ n_1^\alpha+\cdots+n_k^\alpha=(n_1+\cdots+n_k)^\beta $$ para enteros positivos $n_1,\ldots,n_k$ y fija los parámetros de $k$ $\alpha\ne\beta.$ Alguna idea?

Este es quizás similar a esta modalidad de ecuaciones o de "sumas iguales de poderes" pero no es lo suficientemente similar como para el uso de los resultados (por lo que puedo ver). Pero sin duda esto es demasiado simple, no se han estudiado?

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que $\alpha>\beta$ (si tenemos en cuenta $\alpha,\beta \in \mathbb{N}$).

$2$ limitaciones para $(n_1,\ldots, n_k)$:

A. el Uso generalizado de la media (potencia media), se puede obtener:

$\dfrac{n_1+\ldots+n_k}{k} \leqslant \sqrt[\alpha]{\dfrac{n_1^{\alpha}+\ldots+n_k^{\alpha}}{k}}$,

$\left(\dfrac{n_1+\ldots+n_k}{k} \right)^\alpha \leqslant \dfrac{n_1^{\alpha}+\ldots+n_k^{\alpha}}{k} = \dfrac{(n_1 + \ldots + n_k)^\beta}{k}$,

$\left(n_1+\ldots+n_k \right)^{\alpha-\beta} \leqslant k^{\alpha-1}$.

Así, la limitación de la suma: \begin{array}{|c|} \hline n_1+\ldots+n_k\leqslant k^{\frac{\alpha-1}{\alpha-\beta}}. \\ \hline \end{array}

Si vamos a considerar el caso de $\beta = \alpha-1$,$n_1+\ldots+n_k\leqslant k^{\alpha-1}$.

B. Podemos obtener otros (más fuerte) limitación:

$\dfrac{n_1+\ldots+n_k}{k}\leqslant\sqrt[\beta]{\dfrac{n_1^\beta+\ldots+n_k^\beta}{k}} \leqslant \sqrt[\alpha]{\dfrac{n_1^\alpha+\ldots+n_k^\alpha}{k}}$,

$\dfrac{n_1^\alpha+\ldots+n_k^\alpha}{k^\beta} = \left(\dfrac{n_1+\ldots+n_k}{k}\right)^\beta \leqslant \dfrac{n_1^\beta+\ldots+n_k^\beta}{k} \leqslant \left(\dfrac{n_1^\alpha+\ldots+n_k^\alpha}{k}\right)^{\frac{\beta}{\alpha}}$,

$\left(n_1^\alpha+\ldots+n_k^\alpha\right)^{\frac{\alpha-\beta}{\alpha}} \leqslant k^{\beta - \frac{\beta}{\alpha}} = k^{\frac{(\alpha-1)\beta}{\alpha}}$.

Así, la limitación de la suma de la energía: \begin{array}{|c|} \hline n_1^\alpha+\ldots+n_k^\alpha\leqslant k^{\frac{(\alpha-1)\beta}{\alpha-\beta}}. \\ \hline \end{array}

Si vamos a considerar el caso de $\beta = \alpha-1$,$n_1^\alpha+\ldots+n_k^\alpha\leqslant k^{(\alpha-1)\beta}$.

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Un par de ejemplos (por diferentes $n_1, n_2,\ldots,n_k$):

$\color{#003388}{(\alpha,\beta)=(3,2), \;\;k\in \mathbb{N}}$: un famoso identidad:
$\color{#CC3300}{1^3+2^3+\ldots+k^3 = (1+2+\ldots+k)^2}$.

$\color{#003388}{(\alpha,\beta)=(4,3), \;\;k=5}$:
$6^4+7^4+12^4+15^4+19^4=(6+7+12+15+19)^3$;

$\color{#003388}{(\alpha,\beta)=(4,3), \;\;k=6}$:
$2^4+9^4+14^4+21^4+22^4+23^4=(2+9+14+21+22+23)^3$;
$4^4+5^4+6^4+11^4+13^4+20^4=(4+5+6+11+13+20)^3$;

$\color{#003388}{(\alpha,\beta)=(4,3), \;\;k=7}$:
$(1,2,11,14,17,20,26)$;
$(1,8,12,22,23,28,29)$;
$(1,22,23,26,29,33,39)$;
$(3,11,18,21,26,27,35)$;
$(5,9,16,20,26,30,33)$;
$(5,10,11,19,23,24,33)$;
$(6,7,18,21,25,31,33)$;
$\ldots$

$\color{#003388}{(\alpha,\beta)=(5,4), \;\;k=6}$:
$1^5+3^5+14^5+21^5+22^5+39^5 = (1+3+14+21+22+39)^4$;
$3^5+57^5+81^5+96^5+99^5+114^5 = (3+57+81+96+99+114)^4$;
$4^5+45^5+57^5+90^5+91^5+98^5 = (4+45+57+90+91+98)^4$;
$\ldots$

$\color{#003388}{(\alpha,\beta)=(5,4), \;\;k=7}$:

$1^5+2^5+27^5+38^5+54^5+69^5+80^5 = (1+2+27+38+54+69+80)^4$;
$1^5+5^5+17^5+26^5+34^5+59^5+63^5 = (1+5+17+26+34+59+63)^4$;
$2^5+20^5+23^5+36^5+38^5+43^5+79^5 = (2+20+23+36+38+43+79)^4$;
$3^5+4^5+12^5+16^5+17^5+45^5+48^5 = (3+4+12+16+17+45+48)^4$;
$3^5+18^5+19^5+27^5+35^5+37^5+71^5 = (3+18+19+27+35+37+71)^4$;
$\ldots$

Answer 2

Yo no sé acerca de la literatura, pero es claro que para cada una de las $k,$ hay sólo un número finito de soluciones. Claramente, $\alpha>\beta.$ Suponiendo que $n_1\le n_2...\le n_k$, se puede estimar, $(kn_k)^{\beta}\ge RHS=LHS\ge n_k^{\alpha},$ por lo tanto $n_k^{\alpha-\beta}\le k^{\beta}.$

Answer 3

... Continuación:

Una lista de soluciones para ciertos $(\alpha,\beta)$, $k$:

\begin{array}{|c|l|c|} \hline (\alpha, \beta), \; k & (n_1, \ldots, n_k) & n_1+\ldots+n_k \\ \hline \color{#003388}{(\alpha,\beta)=(4,3), \; k=1} & \color{#CC3300}{1} & \color{#CC3300}{1} \\ \hline \color{#003388}{(\alpha,\beta)=(4,3), \; k=2} & \color{#CC3300}{(4,4)} & \color{#CC3300}{8} \\ \hline \color{#003388}{(\alpha,\beta)=(4,3), \; k=3} & \color{#CC3300}{(9,9,9)} & \color{#CC3300}{27} \\ \hline \color{#003388}{(\alpha,\beta)=(4,3), \; k=4} & (7,14,14,14) & 49 \\ & \color{#CC3300}{(16,16,16,16)} & \color{#CC3300}{64} \\ \hline \color{#003388}{(\alpha,\beta)=(4,3), \; k=5} & (5,15,15,20,20) & 75 \\ & (6,7,12,15,19) & 59 \\ & \color{#CC3300}{(25,25,25,25,25)} & \color{#CC3300}{125} \\ \hline \color{#003388}{(\alpha,\beta)=(4,3), \; k=6} & (2,2,2,8,8,14) & 36 \\ & (2,9,14,21,22,23) & 91 \\ & (3,3,7,13,16,19) & 61 \\ & (4,5,6,11,13,20) & 59 \\ & (28,32,32,32,36,40) & 200 \\ & \color{#CC3300}{(36,36,36,36,36,36)} & \color{#CC3300}{216} \\ \hline \color{#003388}{(\alpha,\beta)=(4,3), \; k=7} & (1,1,2,4,7,14,14) & 43 \\ & (1,2,11,14,17,20,26) & 91 \\ & (1,5,6,6,11,11,21) & 61 \\ & (1,8,12,22,23,28,29) & 123 \\ & (1,22,23,26,29,33,39) & 173 \\ & (2,2,4,12,12,14,22) & 68 \\ & (2,14,14,14,23,23,33) & 123 \\ & (3,11,18,21,26,27,35) & 141 \\ & (3,18,21,27,30,36,36) & 171 \\ & (4,12,14,14,14,28,30) & 116 \\ & (5,7,15,23,23,31,31) & 135 \\ & (5,9,16,20,26,30,33) & 139 \\ & (5,10,11,19,23,24,33) & 125 \\ & (6,7,18,21,25,31,33) & 141 \\ & (6,12,21,32,32,33,35) & 171 \\ & (6,16,16,18,24,34,34) & 148 \\ & (7,7,9,9,12,22,27) & 93 \\ & (7,8,8,8,9,10,25) & 75 \\ & (7,9,9,9,17,23,29) & 103 \\ & (8,11,24,25,32,34,37) & 171 \\ & (9,9,16,17,19,20,35) & 125 \\ & (9,10,22,24,26,32,38) & 161 \\ & (9,12,24,24,30,33,39) & 171 \\ & (10,19,30,33,33,37,43) & 205 \\ & (10,21,21,22,24,31,42) & 171 \\ & (10,21,33,36,39,40,40) & 219 \\ & (13,16,17,26,27,33,41) & 173 \\ & (13,16,19,22,27,37,39) & 173 \\ & (13,17,20,22,24,34,41) & 171 \\ & (13,21,31,35,38,39,44) & 221 \\ & (15,20,24,25,26,32,45) & 187 \\ & (17,17,25,30,33,39,44) & 205 \\ & (17,18,22,31,33,38,44) & 203 \\ & (18,19,24,24,26,38,44) & 193 \\ & (18,26,37,40,41,42,47) & 251 \\ & (19,20,29,31,36,39,47) & 221 \\ & (21,21,25,28,41,41,44) & 221 \\ & (21,28,36,39,39,39,51) & 253 \\ & (22,27,32,36,40,47,47) & 251 \\ & (22,30,30,44,44,44,46) & 260 \\ & (25,25,29,30,35,44,49) & 237 \\ & (25,33,35,40,41,42,53) & 269 \\ & (27,36,37,39,46,46,52) & 283 \\ & \color{#CC3300}{(49,49,49,49,49,49,49)} & \color{#CC3300}{343} \\ \hline \hline \color{#003388}{(\alpha,\beta)=(5,4), \; k=1} & \color{#CC3300}{1} & \color{#CC3300}{1} \\ \hline \color{#003388}{(\alpha,\beta)=(5,4), \; k=2} & \color{#CC3300}{(8,8)} & \color{#CC3300}{8} \\ \hline \color{#003388}{(\alpha,\beta)=(5,4), \; k=3} & \color{#CC3300}{(27,27,27)} & \color{#CC3300}{27} \\ \hline \color{#003388}{(\alpha,\beta)=(5,4), \; k=4} & (22,22,33,44) & 121 \\ & (50,50,60,65) & 225 \\ & \color{#CC3300}{(64,64,64,64)} & \color{#CC3300}{256} \\ \hline \color{#003388}{(\alpha,\beta)=(5,4), \; k=5} & (36,36,36,36,72) & 216 \\ & \color{#CC3300}{(125,125,125,125,125)} & \color{#CC3300}{625} \\ \hline \color{#003388}{(\alpha,\beta)=(5,4), \; k=6} & (1,3,14,21,22,39) & 100 \\ & (3,57,81,96,99,114) & 450 \\ & (4,45,57,90,91,98) & 385 \\ & (5,5,40,45,57,68) & 220 \\ & (7,60,80,85,85,118) & 435 \\ & (10,25,41,55,55,84) & 270 \\ & (14,31,36,44,44,81) & 250 \\ & (16,56,64,64,88,112) & 400 \\ & (18,36,45,72,81,99) & 351 \\ & (21,38,45,75,92,99) & 370 \\ & (25,60,85,115,115,125) & 525 \\ & (30,35,52,77,88,108) & 390 \\ & (30,81,113,115,138,139) & 616 \\ & (34,68,80,110,112,136) & 540 \\ & (35,45,55,75,75,115) & 400 \\ & (36,40,68,82,112,113) & 451 \\ & \color{#CC3300}{(216,216,216,216,216,216)} & \color{#CC3300}{1296} \\ \hline \end{array}