La convergencia\Divergencia de $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac {1\cdot 3\cdots (2n-1)} {2\cdot 4\cdots (2n)}$

Question

Demostrar la convergencia\divergencia de la serie: $$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac {1\cdot 3\cdots (2n-1)} {2\cdot 4\cdots (2n)}$$

Aquí es lo que tengo en este momento:

Método I

Mi primero usa un resultado que está relacionado con Wallis producto que vamos a denotar por $W_{n}$. También,
podemos denotar $\dfrac {1\cdot 3\cdots (2n-1)} {2\cdot 4\cdots (2n)}$$P_{n}$. Teniendo en cuenta estos y teniendo un gran valor de $n$
obtenemos: $$(P_{n})^2 =\frac{1}{W_{n} \cdot (2n+1)}\approx\frac{2}{\pi}\cdot \frac{1}{2n+1}$$ $$P_{n}\approx \sqrt {\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$$

Más, tenemos que: $$\lim_{n\to\infty}\sqrt {\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{n}{\sqrt{2n+1}} \le \sum_{n=1}^{\infty} P_{n}$$ que, obviamente, nos muestra que la serie diverge.

Método II

La segunda manera es recurrir a la poderosa Kummer de la Prueba y en primer lugar de proceder con la prueba de razón de: $$\lim_{n\to\infty} \frac{P_{n+1}}{P_{n}}=\frac{2n+1}{2n+2}=1$$ y según el resultado, el ratio de la prueba no es concluyente.

Ahora, aplicamos Kummer la prueba y obtener: $$\lim_{n\to\infty} \frac{P_{n}}{P_{n+1}}n-(n+1)=\lim_{n\to\infty} -\frac{n+1}{2n+1}=-\frac{1}{2} \le 0$$ Desde $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \longrightarrow \infty$$ nuestra serie diverge y hemos terminado.

En el sitio también he encontrado una pregunta relacionada con las respuestas que se pueden aplicar para mi pregunta. Puesto que tengo ya tienen algunas de las respuestas a mi pregunta puede considerar como un recreo una y si usted tiene una prueba interesante para compartir que me gustaría recibir. Esta pregunta me gusta mucho y quiero hacer una colección con buen pruebas para ello. Gracias.

Answer 1

Desde $$ \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot (2n)} \ge \frac{1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot (2n-2)}{2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot (2n)} = \frac1{2n} $$ la serie diverge por comparación con la serie Armónica.

Answer 2

$$ \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}=\frac{(2n)!}{2^{2n}n!^2}\etiqueta{1} $$ El uso de Stirling de la Fórmula, obtenemos que $$ \frac{(2n)!}{2^{2n}n!^2}\sim\frac1{\sqrt{\pi n}}\etiqueta{2} $$ Por la $p$-prueba, $$ \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^p}\etiqueta{3} $$ diverge para $p\le1$, $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\etiqueta{4} $$ diverge.

La derivación de (1):

$$ \begin{align} \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)} &=\frac{1\cdot\color{#C00000}{2}\cdot3\cdot\color{#C00000}{4}\cdot5\cdot\color{#C00000}{6}\cdots(2n-1)\cdot\color{#C00000}{(2n)}}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)\color{#C00000}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}}\\ &=\frac{(2n)!}{(2^nn!)^2} \end{align} $$

Answer 3

Como robjohn notas, $$ \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}=\frac{(2n)!}{2^{2n}n!^2} = \frac 1{4^n} \binom{2n}{n} $$ Tomando nota de que $$(2n+1) \binom{2n}{n} > \sum_{i=0}^{2n} \binom{2n}{i} = 4^n$$ Como $\binom{2n}{n}$ es el mayor coeficiente binomial.

Por lo tanto, $$\frac 1{4^n} \binom{2n}{n} > \frac{1}{2n+1},$$ y por lo tanto, la serie diverge, por la prueba de comparación.