Mientras que jugando con el pequeño Teorema de Fermat me preguntaba la pregunta en el título y no puedo contestarla...
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runeh
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Tomando lulu contestar nota que contraejemplos aquí requieren $p|2^{2n}+1$, y necesitamos de $4$ a tod multiplicativo de fin de modulo $p=4k+1$. El grupo multiplicativo $\bmod p$ es de orden divisible por $4$, de modo que $4$ debe ser un cuarto poder, en este grupo multiplicativo.
Eso significa que $2$ debe ser un cuadrado $(2^2=4)$, y eso significa que $p\equiv 1 \bmod 8$, lo que significa que $2$ ahora debe ser un cuarto poder, por el orden de $4$ a un ser extraño. En particular, como lulu ha observado, $2$ no puede ser una raíz primitiva.
La condición aquí es relativa a la biquadratic reciprocidad y requiere de enteros con $x^2+64 y^2=p$. La condición aún no es suficiente, porque si $p=2^{r+1}q+1$ donde $q$ es impar, $2$ debe ser un $2^{r^{th}}$ de la potencia del modulo $p$. Esto requiere de más comprobar si $x\equiv \pm 1 \bmod 8$.
Esto explica la dispersión de contraejemplos, los primeros de los cuales los que vienen de fuera como $$73=9+64\cdot 1$$$$89=25+64\cdot 1$$$$223=1693+64\cdot 1$$$$281=25+64\cdot 4$$$$337=81+64\cdot 4$$
