Permutación de coeficientes de polinomios

Question

¿Se conoce algún resultado relacionado con la permutación de coeficientes de polinomios?

Por ejemplo, dado un polinomio, si se permutan los coeficientes, ¿hay algún resultado que relacione ambos?

Pregunta relacionada, dado el conjunto de todos los polinomios que son permutaciones de coeficientes, ¿hay algún resultado conocido?

El único ejemplo posible que se me ocurre es que si las raíces de un polinomio no son racionales, entonces todas las permutaciones de polinomios de sus coeficientes tampoco tienen raíces racionales. No estoy seguro de si esto es correcto o incorrecto.

Answer 1

Pon un ejemplo en el que tu afirmación sea falsa: $x^2+x+2$ tiene raíces no racionales pero $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$ . Permutar los coeficientes de un polinomio puede cambiar las propiedades de un polinomio de forma drástica: irreducibilidad, dicriminante, etc. Se puede hacer una excepción con los polinomios que satisfacen el criterio de Eisenstein para la irreducibilidad con la condición de que el primer y el último coeficiente no cambien.

Answer 2

Supongamos que $\;w\neq0\;$ es una raíz de $\;a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0\;$ (Todo esto sobre algún campo), entonces:

$$a_nw^n+a_{n-1}w^{n-1}+\ldots+a_1w+a_0=0\stackrel{\cdot\,w^{-n}}\implies $$

$$a_0(w^{-1})^n+a_1(w^{-1})^{n-1}+\ldots+a_{n-1}w^{-1}+a_n=0\implies w^{-1}\;\;\text{root of}\;\;$$

$$a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$$

Pero por lo anterior, no conozco ninguna otra más o menos significativa general aunque, por supuesto, están los polinomios en $\;n\;$ incógnitas que permanecen fijas cuando un permutación se aplica sobre sus coeficientes. Estos se conocen como polinomios simétricos pero quizá no sea lo que usted desea.