Tangente débil pero no fuerte

Question

Pregunta: Demostrar que $\alpha(t)=(t^3,t^2)$ , $t\in \Bbb R$ tiene una tangente débil pero no una tangente fuerte en $t=0$ .

Definiciones de esta respuesta :

(Tangente débil) $\alpha: I \to \Bbb R^3$ tiene una tangente débil en $t_0 \in I$ si la línea determinada por $\alpha(t_0 + h)$ y $\alpha(t_0)$ tiene una posición límite cuando $h \to 0$ .

(Fuerte tangente) $\alpha: I \to \Bbb R^3$ tiene una fuerte tangente en $t_0 \in I$ si la línea determinada por $\alpha(t_0 + h)$ y $\alpha(t_0 + k)$ tiene una posición límite cuando $h \to 0$ y $k \to 0$ .

Mi pregunta:

No tengo muy claro qué argumento utilizar para demostrar esto. La tangente débil es la línea que une $\alpha(t_0)$ y $\alpha(t_0+h)$ que es $$ (\lambda(x(t_0+h)-x(t_0))+x(t_0), \lambda(y(t_0+h)-y(t_0))+y(t_0)) $$ Si $t_0=0$ entonces $x(t_0)=0$ por lo que esto se convierte en $$ (\lambda h^3, \lambda h^2) $$ La tangente fuerte es $$ (\lambda(x(t_0+h)-x(t_0+k))+x(t_0+k), \lambda(y(t_0+h)-y(t_0+k))+y(t_0+k)) $$ $$ =(\lambda (h^3-k^3)+k^3,\lambda (h^2-k^2)+k^2) $$ Como $h,k\rightarrow0$ esto parece mal definido. Pero, ¿cómo puedo precisar este argumento?

Además, ¿cuál es el significado intuitivo de las tangentes fuertes y débiles?

[Este es el ejercicio 1-3-7 de Geometría diferencial de curvas y superficies por Do Carmo].

Answer 1

Tangente débil

Obsérvese que la pendiente de $(\lambda h^3, \lambda h^2)$ tiende a $\infty$ como $h\to 0$ , lo que significa que la dirección de la línea se aproxima a la vertical. Como la línea siempre pasa por $(0,0)$ Esto significa que tiene una posición límite (el $y$ eje).

Tangente fuerte

Si existe, tiene que ser igual que la tangente débil, porque si existe el límite doble, límite iterado " $k\to 0$ entonces $h\to 0$ "existe y es igual a ella. Sin embargo, la aproximación a través de $h=-k$ verás que las líneas se mantienen horizontales.

Significado intuitivo

• Tangente fuerte: si caminas por la curva y alguien camina por la línea tangente con la misma velocidad, podéis pasar un rato caminando juntos y cogidos de la mano.

• Tangente débil: parece una tangente fuerte al principio, pero en el punto de tangencia hay una ruptura y alguien se aleja en dirección contraria.

Answer 2

Tal vez valga un comentario aquí. Obsérvese que la curva es $y = x^{2/3}$ y $dy/dx = (2/3)x^{-1/3}$ va a $\infty$ cuando $x \rightarrow 0$ por lo que la derivada no existe en $x=0$ y $\alpha(t)$ no es regular en $t=0$ . El mismo resultado debería obtenerse mediante la definición de tangente débil y fuerte, si es que existen. Como ya se ha dicho, la pendiente de la recta determinada por $\alpha(t_0+h)$ y $\alpha(t_0)$ va a $\infty$ cuando $h\rightarrow 0$ . Así que la tangente débil existe. Pero esto no ocurre para cualquier $h$ y $k$ en el caso de la tangente fuerte (la pendiente es $0$ si eliges $h=-k$ ).