¿A qué nos referimos realmente cuando decimos que los neutrones y protones wavefunctions formar juntos una $SU(2)$ doblete? ¿Cuál es el significado de esto? Lo que hace esta transformación realmente haciendo a la wavefunctions (o campos)?
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Dos partículas que componen un $SU(2)$ doblete significa que se transforman el uno en el otro en $SU(2) $ transformación. En otras palabras, en $SU (2)$ transformaciones por las que el protón y el neutrón transformación, \begin{equation} \left( \begin{array}{c} p \\ n \end{array} \right) \xrightarrow{UB(2)} \exp \left( - \frac{ i }{ 2} \theta_a \sigma_a \right) \left( \begin{array}{c} p \\ n \end{array} \right) \end{equation} donde $ \sigma _a $ son las matrices de Pauli. Resulta que el mundo real obedece a ciertas propiedades de simetría. Por ejemplo, las ecuaciones que describen las interacciones fuertes de los protones y los neutrones son aproximadamente invariante bajo transformaciones unitarias con determinante 1 (la transformación que se muestra arriba) entre el protón y el neutrón. Esto no tiene que ser el caso, pero resulta que es. Dado que la interacción fuerte es invariante bajo tales transformaciones, cada término de interacción en la fuerte interacción de Lagrange es muy restringido. Para una cosa, esto es útil ya que permite hacer predicciones sencillas acerca de protones y neutrones de los sistemas.
Con el fin de obtener una mejor comprensión de esta transformación y por qué la simetría se mantiene. Considerar el Lagrangiano de QCD para los quarks up y down: \begin{equation} {\cal L} _{ QCD} = \bar{\psi} _{u,i} i \left( \left( \gamma ^\mu D _\mu \right) _{ ij} - m _u \delta _{ ij} \right) \psi _{u,j} + \bar{\psi} _{ d ,i} \left( \left( \gamma ^\mu D _\mu \right) _{ ij} - m _d \delta _{ ij} \right) \psi _{d ,j}% \\ % & \bar{\psi} _{i} i \left( \left( \gamma ^\mu D _\mu \right) _{ ij} - M \delta _{ ij} \right) \psi _{j} \end{equation} donde $ D ^\mu $ es el covarient derivados y la suma de $ i,j $ es una suma sobre el color. Observe que si $ m _{ u} \approx m _d \equiv m $ podemos escribir este Lagrangiano en una forma más conveniente, \begin{equation} {\cal L} _{ QCD} = \bar{\psi} _{i} i \left( \left( \gamma ^\mu D _\mu \right) _{ ij} - m \delta _{ ij} \right) \psi _{j} \end{equation} donde $ \psi \equiv \left( \psi _p \, \psi _n \right) ^T $. Este Lagrangiano ahora es invariable a lo largo de las transformaciones entre los quarks up y down. Puesto que el protón y el neutrón, y sólo difieren en su relación de arriba a abajo quarks, sería de esperar que estas partículas se comportan de manera muy similar al QED puede ser descuidado (que a menudo es el caso, porque QED es mucho más débil, a continuación, QCD a bajas energías).
Como un ejemplo claro de la utilización de la simetría considerar las reacciones: \begin{align} & 1) \quad p p \rightarrow d \pi ^+ \\ & 2) \quad p n \rightarrow d \pi ^0 \end{align} donde $ d $ es el deuterio, un isospin singlete, y el pions formar una isospin triplete. Para la primera interacción, la inicial de isospin estado es $ \left| 1/2, 1/2 \right\rangle \otimes \left| 1/2, 1/2 \right\rangle = \left| 1, 1 \right\rangle $. Los productos han isospin $ \left| 0,0 \right\rangle \otimes \left| 1,1 \right\rangle = \left| 1,1 \right\rangle $. La segunda interacción tiene una inicial isospin estado, $ \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left| 0,0 \right\rangle + \left| 1,0 \right\rangle \right) $, y el final de isospin, $ \left| 0,0 \right\rangle $.
Dado que ambos casos tienen cierta superposición entre el isospin wavefunctions, ambos pueden continuar. Sin embargo, en el segundo proceso tiene una supresión del factor de $ 1/ \sqrt{2} $ en la contratación de los isospin wavefunctions. Para obtener las probabilidades de esto tendrá que ser elevada al cuadrado. Por lo tanto, se puede concluir, \begin{equation} \frac{ \mbox{Rate of 1} }{ \mbox{Rate of 2}} \approx 2 \end{equation}
Observe que incluso sin saber nada acerca de los detalles del sistema que fueron capaces de hacer un muy potente de predicción. Todo lo que necesitamos saber es que el proceso se produce a través de la QCD.
JordanBelf
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No sé qué fondo de traer a la pregunta. Así que a riesgo de sonar condescendiente, permítanme darles la tierra de respuesta. Me pregunto si esto le ayuda.
Creo que de las rotaciones en el (Real) 2-plano dimensional $\mathbb{R}^2$. Puede girar el eje X en el eje y, y el eje Y en el eje negativo X. Este grupo de 2d rotaciones se llama $SO(2)$. Tenga en cuenta que aquí, cada uno de los ejes consiste en el conjunto de los números reales. Si, por el contrario, cada eje corresponde al conjunto de los números complejos, entonces tendríamos el 2d plano complejo $\mathbb{C}^2$. Las rotaciones en este plano corresponde al grupo $SU(2)$ y se puede pensar que los protones y los neutrones (o más bien, su wavefunctions) como la base de los elementos que forman los dos ejes en esta $\mathbb{C}^2$ espacio. El "doblete" se refiere a tener dos ejes.
Esta $\mathbb{C}^2$ no se refieren a la verdadera dimensiones físicas, sino sólo algunos de la propiedad de los protones y los neutrones.
Estoy en una pérdida para explicar la "importancia" de este, aparte del hecho de que esta es la forma en que la naturaleza se comporta. Una de las consecuencias es el hecho de que el protón y el neutrón tienen aproximadamente igual masas, porque aparte de ser diferentes ejes correspondientes a esta propiedad, que se supone que son bastante similares de otra manera.
Por lo general, cuando usted escribir la función de onda (de una partícula), se concentra en su perfil espacial (en introductorio de mecánica cuántica) y el abandono de otras propiedades que la caracterizan. Del mismo modo, cada una de las partículas también tiene una función de onda correspondiente a cada una de las características y la descripción completa consiste en escribir todas las wavefunctions (puede "multiplicar" la wavefunctions correspondientes a todas las diferentes propiedades, por lo que vale). Como usted podría haber visto operadores que actúan en la distribución espacial parte de una función de onda, usted también tendrá operadores que actúan sobre la función de onda correspondiente a cada propiedad.
