¿Por qué el lema de Zorn no se aplica a $[0,1)$ ?

Question

Considere el intervalo real $[0,1)$ esto es un conjunto parcialmente ordenado (totalmente ordenado en realidad). Este conjunto tiene un límite superior como $1$ y de acuerdo con el lema de Zorn, cada conjunto parcialmente ordenado con un límite superior debe tener al menos un elemento máximo. Sin embargo, en este conjunto no hay un elemento máximo, es decir, un elemento que sea mayor que cada elemento del conjunto porque puede estar tan cerca como $1$ . Lo estoy si no entiendo el lema de Zorn. ¡Por favor, ayuda!

Answer 1

Como una orden parcial $[0,1)$ no tiene límite superior. Seguro $1$ es un límite superior de $[0,1)$ en $[0,1]$ o en $ \Bbb R$ . Pero ese no es el mismo orden parcial. No se permite ir a órdenes parciales más grandes cuando se aplica el lema de Zorn.

Así que $[0,1)$ tiene muchas cadenas sin límites superiores. Por ejemplo. $[0,1)$ en sí mismo.

Answer 2

En realidad no estás usando el lema de Zorn que establece que si cada cadena en $[0,1)$ tiene un límite superior, entonces $[0,1)$ tiene un elemento máximo. Sin embargo, la cadena $\{1- \frac 1 n \}_{n \in \mathbb N}$ no tiene un límite superior en $[0,1)$ .