Teorema de compacidad / Conjunto de fórmulas de tamaño infinito

Question

Podría alguien darme un ejemplo de un infinito contable de conjunto, donde las fórmulas contenidas en él son bajo la forma de una conjunción o disyunción de tamaño infinito, para que el teorema de compacidad no?

Muchas gracias, David

Answer 1

El teorema de compacidad decir "Si su finitely consistente, entonces usted está en consonancia". Deje $ L=\{c_i :i\in \omega\}$ o en el idioma que contiene countably muchos constante de símbolos (con igualdad). Consideremos la oración, en $L_{\omega_1\omega}$ que dice:

$$\varphi \equiv (\forall x)\bigvee_{i\in \omega}(x = c_i) $$

Junto con la colección de frases $\Phi = \{ (\exists x)(x \neq c_i): i \in \omega\}$

Observe que cada finito subcolección de $\Phi \cup \varphi$ es consistente (sólo elige $x$ a ser una constante símbolo que no está presente en $\Phi_0 \subset \Phi$.

Sin embargo, $\Phi \cup \varphi$ es inconsistente desde $\Phi$ dice que "x es ninguno de la constante de símbolos" e $\varphi$ dice que "cada x es una constante símbolo".