propagador de fotones

Question

Estoy leyendo Zee del libro "QFT en una cáscara de nuez". Tengo una pregunta sobre el propagador de fotones de cálculo. Para una enorme de fotones, considerar el Lagrangiano $L = -\frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} + \frac{1}{2}m^2A_\mu A^\mu + A_\mu J^\mu$, luego la ruta integral es $Z = \int dx ~L = \int dx ~\{ \frac{1}{2}A_\mu[(\partial^2 + m^2)g^{\mu \nu} - \partial^\mu \partial^\nu]A_\nu + A_\mu J^\mu \}$. De esto podemos conseguir que el propagador de fotones $D_{\mu \nu}$ satisface $[(\partial^2 + m^2)g^{\mu \nu} -\partial^\mu \partial^\nu ] D_{\nu \lambda}(x) = \delta^\mu_\lambda \delta^{(4)}(x)$, y la resolución de este, $$D_{\nu \lambda}(k) = \frac{-g_{\nu \lambda} + k_\nu k_\lambda/m^2}{k^2 - m^2}.$$

No puedo ver por qué el numerador tiene un plazo $ k_\nu k_\lambda/m^2$. Alguna idea?

Answer 1

Multiplíquelo en la transformada de Fourier, donde $\partial = ik$:

$$ \bigl[ (-k^2 +m^2) g^{\mu\nu} + k^\mu k^\nu\bigr] \frac{ -g_{\nu\lambda} + m^{-2} k_\nu k_\lambda }{k^2 - m^2} = \frac1{k^2 - m^2} \bigl( - (-k^2 + m^2) \delta^\mu_\lambda + (-k^2 + m^2) m^{-2} k^\mu k_\lambda - k^\mu k_\lambda + k^\mu k^2 k_\lambda m^{-2} \bigr) = \delta^\mu_\lambda$$

que es una función de $k$. Pero la conversión de vuelta a la posición del espacio, $1(k) = \delta(x)$.

Esto demuestra que $D$ es una solución. Para ser la solución, generalmente usted tiene que imponer las condiciones de contorno, etc. En este caso, no hay soluciones a $\bigl[ (-k^2 +m^2) g^{\mu\nu} + k^\mu k^\nu\bigr] f_\nu = 0$: la ecuación correspondiente en la transformada de Fourier es $(-k^2 + m^2) g^{\mu\nu} + k^\mu k^\nu = 0$, y la contratación con $g_{\mu \nu}$ da $0 = d(-k^2 + m^2) + k^2 = dm^2 - (d-1)k^2$ donde $d$ es la dimensión del espacio-tiempo, por lo $k^2 = \frac{d}{d-1}m^2$, pero $-\frac1{d-1}m^2 g^{\mu\nu} + k^\mu k^\nu$ no puede igualar $0$ $k^\mu k^\nu$ no puede ser una matriz invertible. Por lo $D$ es la única solución.

Answer 2

Esto es sólo debido a la algebraica de la matriz de inversión en el impulso de espacio. Puede ser visto a partir de la identidad:

$(g_{\mu\nu} - \frac{k_\mu k_\nu}{(k^2-m^2)}) (g_{\nu\lambda} - \frac{k_\nu k_\lambda}{m^2}) = g_{\mu_\lambda}$

Este es un caso especial de un resultado general en álgebra lineal: La inversa de una matriz prportional a una suma ponderada de una unidad de la matriz y un Hermitian de la matriz de la unidad de clasificación es también proporcional a un (por lo general diferentes) suma ponderada de la unidad de la matriz y de la Hermitian unidad rango de la matriz.

Answer 3

Theo y David son perfectamente correctas. Para agregar un poco más de una explicación física que podría ayudar con el por una parte, una enorme espín de una partícula tiene 3 física grados de libertad así que debe haber alguna condición en los cuatro componentes $A_\mu$. La ecuación de movimiento para $A_\mu$ es equivalente a decir que cada componente de $A_\mu $ satisface la masiva De Klein-Gordon ecuación y que, además de la $\partial^\mu A_\mu=0$. Esta última condición en impulso espacio implica que $k^\mu D_{\mu \nu}(k)=0$. Así, uno puede entender la $1/(k^2-m^2)$ de cada componente de obedecer a la masiva KG ecuación y el factor en el numerador como garantizar que los $k^\mu D_{\mu \nu}(k)=0$.