Pregunta sobre el Ascoli-Arzelá Teorema de la prueba

Question

Ascoli-Arzelá Thoerem: Vamos a $K$ ser un espacio compacto y $M$ ser un espacio métrico y $C(K,M)$ el conjunto de funciones continuas de $K$ a $M$. $H \subset C(K,M) $ es relativamente compacto si y sólo si $H$ es equicontinuous y $H(x) : = \{ f(x): f\in H\}$ es relativamente compacto.

Quiero entender el paso de la implicación ($\Leftarrow$). Con el fin de mostrar que el $H$ es relativamente compacto me gustaría saber cómo probar que $\overline{H}$ es completa.

$\underline{Ideas:} $

Primera.

Deje $\overline{f}_n $ ser una secuencia de Cauchy en $ \overline{H}$. Entonces para cualquier $n$, vamos a $f_n \in H$ tal que \begin{equation} d(f_n,\overline{f}_n) < 1/n \end{equation} Como por hipótesis de $\overline{H(x)}$ es compacto y por lo tanto, completa, $(f_n(x))_n$ es una secuencia de Cauchy y podemos definir $f(x):= \lim_{n} f_n(x)$. Hay un resultado que si $\overline{f}_n$ es equicontinuous y converge puntualmente a $f$, $f$ es continua y converge uniformemente. Puedo ver que $\overline{f}_n$ y converge puntualmente a $f$ pero no puedo ver que $ \overline{f}_n $ es equicontinuous. El lugar donde vi esta Idea dice que esto es por la construcción. Puedo ver por la construcción de la parte que yo ya te dijo. Cómo ven esto?

Segundo.

Esto es suficiente para mostrar que $f_n \rightarrow f$ uniformemente desde $f$ será continua como límite uniforme de funciones continuas. Como $\overline{f}_n$ es una secuencia de Cauchy para todos los $\varepsilon >0 $ hay $n_0$ tal que $n>n_0$ impllies \begin{equation} d(\overline{f}_n,\overline{f}_m) : = \sup_{x \in K} d(f_n(x),f_m(x)) < \varepsilon. \end{equation} Entonces, por la desigualdad de triángulo y tomando el límite cuando $m \rightarrow \infty$ en \begin{equation} d(\overline{f}_n,f) \le d(\overline{f}_n,\overline{f}_m) + d(\overline{f}_m, f) \end{equation} para obtener \begin{equation} d(\overline{f}_n,f) \le \varepsilon + \lim_{m} d(\overline{f}_m, f). \end{equation} Entonces solo tenemos que demostrar que \begin{equation} \lim_{m\rightarrow \infty} \sup_{x \in K} d(\overline{ f}_n(x),f(x)). \end{equation} Tenga en cuenta que podemos utilizar la misma idea para demostrar que $C(K,M)$ es completa (no sé si esto es cierto, por ejemplo, es cierto si $M = \mathbb{R}$). Porque si esto es cierto $\overline{H}$ es completa, porque es el cierre de un conjunto de contenidos en un en un espacio es compacto.

Cualquier ayuda será buena. Voy a estar muy agradecido.

Answer 1

Puedo ver que $\overline{f}_n$ y converge puntualmente a $f$ pero no puedo ver que $ \overline{f}_n $ es equicontinuous.

La forma más fácil de ver que es indirectamente.

Por construcción, no ha $f_n(x) \to f(x)$ todos los $x\in K$. Ahora, $\{ f_n : n \in \mathbb{N}\}$ es un subsetof $H$, por lo tanto equicontinuous por supuesto. Por lo tanto, la convergencia es en el hecho de uniforme. Por lo tanto $f$ es continua. Y

$$d(f,\overline{f}_n) \leqslant d(f,f_n) + d(f_n,\overline{f}_n) < d(f,f_n) + \frac{1}{n}.\tag{1}$$

Que muestra que $\overline{f}_n$ converge uniformemente a $f$ (determinado $\varepsilon > 0$, elija $n_0 \geqslant 2/\varepsilon$ tal que $d(f,f_n) < \varepsilon/2$ todos los $n \geqslant n_0$, $(1)$ muestra $d(f,\overline{f}_n) < \varepsilon$$n \geqslant n_0$). Pero uniformemente convergente de la secuencia de funciones continuas sobre un espacio compacto es equicontinuous.

Bien, pero la utiliza teoremas, que un pointwise convergente equicontinuous secuencia de funciones converge uniformemente en compactos de conjuntos, y que un uniformemente convergente de la secuencia de funciones continuas es equicontinuous, puede no ser muy familiar.

Así que vamos a mostrar que si $H$ es equicontinuous, a continuación, $\overline{H}$ es también equicontinuous.

Deje $x\in K$ arbitrarias. Para $\varepsilon > 0$, no es, por definición, de equicontinuity, un barrio de $U_\varepsilon$ $x$ tal que

$$\bigl(\forall f\in H\bigr)\bigl(\forall y \in U_\varepsilon\bigr)\bigl(d_M(f(x),f(y)) \leqslant \varepsilon\bigr).$$

Pero entonces, por $\overline{f} \in \overline{H}$, y cualquier $\delta > 0$, hay un $f\in H$$d(\overline{f},f) < \delta$, y por lo tanto tenemos

$$d_M(\overline{f}(x),\overline{f}(y)) \leqslant d_M(\overline{f}(x),f(x)) + d_M(f(x),f(y)) + d_M(f(y),\overline{f}(y)) \leqslant d(f(x),f(y)) + 2d(\overline{f},f) \leqslant \varepsilon + 2\delta$$

para todos los $y\in U_\varepsilon$. Pero desde $\delta > 0$ fue arbitraria, se sigue que

$$d_M(\overline{f}(x),\overline{f}(y)) \leqslant \varepsilon$$

para todos los $\overline{f} \in \overline{H}$ y todos los $y\in U_\varepsilon$. Así, hemos demostrado que $\overline{H}$ es equicontinuous al $H$ es.

Nota: es cierto que $\operatorname{cl}_{pw}(H)$, el cierre de $H$ en la topología de pointwise convergencia, es equicontinuous al $H$ es equicontinuous.

Tenga en cuenta que podemos utilizar la misma idea para demostrar que $C(K,M)$ es completa

No, no podemos hacerlo, ya que $C(K,M)$ es completa sólo si $M$ es completa, y que no fue asumido. Parte de la hipótesis de que, para cada $x\in K$ el conjunto $H(x)$ está contenida en un cuerpo compacto y por lo tanto completa subconjunto de $M$, y que puede ser el caso incluso si $M$ sí no es completa.