¿Hay alguien que es capaz de demostrar la siguiente declaración?
$$\prod_{m=1}^n \dfrac{p_m-1}{p_m} \leq \dfrac{1}{\ln(n)}$$ for all integers $n >1$ where $p_m$ is the $m$-ésimo número primo.
Respuestas
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Marco Cantarini
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Tenemos $$\prod_{i\leq n}\frac{p_{i}-1}{p_{i}}=\prod_{i\leq n}\left(1-\frac{1}{p_{i}}\right)=\frac{1}{\log\left(p_{n}\right)e^{\gamma}}+O\left(\frac{1}{\log^{2}\left(p_{n}\right)}\right) $$ by the Mertens theorem. Now note that, by Rosser's theorem $$\frac{1}{\log\left(p_{n}\right)e^{\gamma}}<\frac{1}{\log\left(p_{n}\right)}<\frac{1}{\log\left(n\log\left(n\right)\right)}=\frac{1}{\log\left(n\right)+\log\left(\log\left(n\right)\right)}\leq\frac{1}{\log\left(n\right)}. $$
A continuación he dejado mi anterior erróneo enfoque. Es interesante que mi upvoters y yo no había notado el resaltado error. Y también que existe una muy sencilla prueba: $$\prod_{m=1}^n\frac{p_m}{p_m-1}-\ln n>\sum_{m=1}^n\frac{1}{m}-\ln n>\gamma>0. $$
Si usted desea evitar Mertens pero no Rosser, tenga en cuenta que su desigualdad es más débil que $$\begin{align}\prod_{m=1}^n\frac{p_m-1}{p_m}&\le\frac{n}{p_n} \\ (p_n-1)\prod_{m=1}^{n-1}\frac{p_m-1}{p_m}&\le n \\ p_n-1&\le n\prod_{m=1}^{n-1}\frac{p_m}{p_m-1}, \end{align}$$which holds for $n=2$ and for larger $n$ follows from $$\begin{align} \color\red{\frac{p_{n+1}-1}{p_n-1}}\require{enclose} \enclose{updiagonalstrike,downdiagonalstrike}{\frac{p_n}{p_n-1}} &<\frac{n+1}{n} \frac{p_n}{p_n-1} \\ \color\red{p_n}\left(1+\frac{1}{n}\right)&>\enclose{updiagonalstrike,downdiagonalstrike}1\color\red{p_{n+1}-1} \\ \color\red{p_{n+1}-p_{n}} &\color\red{<}\color\red{\frac{p_n}{n}+1} \longrightarrow \text{stronger than Cramer's conjecture}\end{align}$$In fact, too stronger. It fails infinitely often, as a consequence of Westzynthius's result (kindly reminded by wythagoras in the comments): $$\lim\sup\frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n}=\infty.$$
