¿Son los pesos de una representación irreducible de un simple álgebra Lie en una sola órbita Weyl?

Question

Cuando consideramos los pesos de un irrep de un simple álgebra Lie, ¿están siempre en una sola órbita bajo el grupo Weyl del álgebra Lie, o forman un conjunto de órbitas desarticuladas?

Si forman múltiples órbitas, ¿hay alguna forma eficiente de averiguar las órbitas sin pasar por el enorme trabajo de actuar cada reflejo de Weyl sobre cada peso?

Answer 1

Los pesos no están siempre en una sola órbita---esto sucede ya la primera vez que puede, para los irreducibles $3$ -Representación dimensional de $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ (que también resulta ser la representación adjunta). Los pesos de esta representación son $-\alpha,0$ y $\alpha$ , donde $\alpha$ es la única raíz positiva.

Para módulos irreducibles de dimensión finita, el conjunto de pesos es estable en el grupo de Weyl, pero esto falla para irreducibles arbitrarios (así que, dado lo que escribes asumo que estás interesado en irreducibles de dimensión finita). Si $L(\lambda)$ es el irreducible de dimensión finita con mayor peso $\lambda$ entonces se deduce de la fórmula del carácter de Weyl que los pesos dominantes que aparecen en la descomposición del espacio de pesos de $L(\lambda)$ son precisamente los pesos dominantes que son como máximo $\lambda$ en orden de dominación. Como escribió @Nate, estos te dan representantes de la órbita.