Cómo exactamente puede no $\delta$ dependen de la $x$ en la definición de continuidad uniforme?

Question

Me han dicho que una función definida en un intervalo $[a,b]$ o $(a,b)$ es uniformemente continua si para cada una de las $\epsilon\gt 0$ existe un $\delta\gt 0$ tal que $|x-t|\lt \delta$ implica que el $|f(x)-f(t)|\lt \epsilon$. A continuación se da una pequeña nota diciendo que $\delta$ no puede depender de $x$, se puede depender sólo de $\epsilon$.

Con el ordinario de la continuidad, el $\delta$ puede depender tanto de $x$$\epsilon$. Sólo estoy un poco perdido sobre el por qué de $|x-t|\lt \delta$ implica $|f(x)-f(t)|\lt \epsilon$, y de cómo $\delta$ no puede depender de $x$, pero sólo $\epsilon$.

Answer 1

Aquí está una foto que podría ser de ayuda. Una forma visual de comprensión $\delta$-$\epsilon$ los argumentos es comenzar con una $\delta$-tamaño de área en el dominio, que se proyecta hacia arriba a la función y, a continuación, de nuevo en un $\epsilon$-tamaño de área en el intervalo.

Con la función de $f(x) = x$, existe una limitada relación entre el tamaño de la alimentación y el tamaño de la zona de que salga. No es así con $f(x) = x^2$! Mira cómo me alimento en pequeñas áreas y obtener grandes áreas para grandes valores de $x$. Esta es la razón por la que decimos que $f(x) = x$ es uniformemente continua, sino $f(x) = x^2$ no es uniformemente continua en a $\mathbb{R}$. No hay manera de que a nivel global (es decir, independientes de $x$) controlar el tamaño de la imagen de $f(x) = x^2$ mediante el control del tamaño de la de dominio.

Answer 2

Tenga en cuenta que el contenido de "$\delta$ es independiente de $x$ " es simplemente que podemos elegir un $\delta$ que funciona para todas las $x$.

Todavía ; dado un poco de $\delta$ , diferente a $x$ valores puede hacer que la implicación de verdadero o falso.

Desde un punto de vista diferente, la continuidad implica la existencia de $\delta$ por cada $x$. Si utilizamos el mayor número posible de $\delta$ por cada $x$ y construir el conjunto de estos $\delta$'s para cada una de las $\epsilon$ , entonces el uniforme de la continuidad es equivalente a la "positiva" infimum de cada conjunto.

Espero que esto aclare tu mente..

Answer 3

Comparar las definiciones:

1) $f$ es continua en a $(a,b)$ si $$ \forall \epsilon > 0\; {\color{verde}{ \forall x\in (a,b)\;\exists \; \delta>0}} \;: \lvert x - y\rvert< \delta \Rightarrow \lvert f(x)-f(y)\rvert <\epsilon. $$ 2) $f$ es uniforme continua en $(a,b)$ si $$ \forall \epsilon > 0\; \color{verde}{\exists \delta>0 \; \forall x\in (a,b)} \; : \lvert x - y\rvert< \delta \Rightarrow \lvert f(x)-f(y)\rvert <\epsilon. $$ Usted verá que para uniforme continua en el $\delta$ tiene que trabajar para todos los $x\in (a,b)$. El hecho de que $\delta$ no puede depender de $\epsilon$ es sólo una parte de la definición.

Answer 4

Para un ejemplo trivial, la función de $f(x)=x$ es uniformemente continua en a $(0,1)$, debido a que para cualquier $\epsilon>0$, hay un $\delta>0$ tal que $|x-t|<\delta$ implica que el $|f(x)-f(t)|<\epsilon$; es decir, podemos elegir $\delta=\epsilon$, y, a continuación, $$|x-t|=|f(x)-f(t)|<\epsilon=\delta.$$ En contraste, la función de $\sin(\frac{1}{x})$ es continua, pero no de manera uniforme continua en el intervalo $(0,1)$ porque, teniendo (por ejemplo) $\epsilon=\frac{1}{2}$, para cualquier $\delta>0$ siempre hay algunos $x,t\in (0,1)$ $|x-t|<\delta$ pero $|f(x)-f(t)|\geq \epsilon$; usted puede tomar $x=\frac{1}{2\pi k}$ $t=\frac{1}{2\pi k+(\pi/2)}$ donde $k$ es lo suficientemente grande como para asegurar que $|x-t|<\delta$.

Answer 5

El hecho de que $\delta$ no dependen $x$ es exactamente la definición de continuidad uniforme

Basta con mirar a esta:

Deje $f(x)=2x+3$. Entonces si se soluciona $|f(x)-f(t)|< \epsilon$ se puede conseguir que la $|t-x|<\frac{\epsilon}{2}$, lo $\delta=\frac{\epsilon}{2}$ trabaja no importa lo $x$$t$. Este es el uniforme de la continuidad.

Si en lugar de que usted escoja $f(x)=x^2$, entonces si se soluciona $|f(x)-f(t)|< \epsilon$ se puede conseguir que la $|t-x| |t+x|<\epsilon$. Esto significa que, aproximadamente, su $\delta$ necesita ser $\frac{\epsilon}{2|x|}$, y la mayor $x$ es el menor $\delta$ tiene que ser. En este caso, $\delta$ depende de $x$.