¿Por qué no puede usted demostrar la ley del medio excluido en intuitionistic lógica (para laico)?

Question

Estoy aprendiendo acerca de la diferencia entre los valores booleanos y de la lógica clásica en Coq, y por qué proposiciones lógicas son una especie de un superconjunto de booleanos:

¿Por qué son los conectivos lógicos y los booleanos separado en Coq?

La respuesta no explica la razón principal de esta diferencia es debido a la ley de medio excluido, y cómo en intuitionistic lógica, no se puede probar esto:

Definition excluded_middle :=
  forall P : Prop, P \/ ~ P.

He visto este dicho en muchas diferentes libros y artículos, pero parecen haber perdido una explicación sobre por qué usted no puede probarlo.

De manera que una persona con algo de programación/experiencia matemática puede entender (no es un experto en matemáticas), ¿cuál es la razón por la que no se puede probar esto en intuitionistic lógica?

Answer 1

Si se pudiera demostrar la ley del medio excluido, entonces sería cierto en todos los sistemas de satisfacciones intuitionistic axiomas. Tan sólo tenemos que encontrar algún modelo de intuitionistic lógica para que la ley del medio excluido falla.

Deje $X$ ser un espacio topológico. Una propuesta consistirá en un conjunto abierto, donde $X$ es "true", y $\emptyset$ es "falso". La unión será "o", la intersección será "y".

Definimos $U\implies V$ a ser el interior de $U^c \cup V$, e $\neg U = (U\implies \emptyset)$ es sólo el interior de $U^c$.

El sistema que acabo de describir obedece a los axiomas de intuitionistic lógica. Pero la ley del medio excluido dice que $U\cup \neg U = X$, lo que falla para cualquier conjunto abierto cuyo complemento no está abierto. Así que esto es falso para $X=\mathbb{R}$, por ejemplo, o incluso para los dos-punto de Sierpinski espacio.

De hecho, intuitionistic lógica general puede ser interpretado en esta geométrica tipo de forma, a pesar de espacios topológicos no son lo suficientemente general y tenemos lo que se denomina primaria topoi modelo intuitionistic lógica.

Answer 2

No saber mucho de matemáticas de la experiencia que has tenido, puede ser difícil de explicar la diferencia de punto de vista.

Intutionism, y la lógica constructiva en general, son muy inspirado por el hecho de que nosotros, como los matemáticos no sabe las respuestas a todas las preguntas de matemáticas. La lógica clásica se basa en la idea de que todos los enunciados matemáticos son verdaderas o falsas, incluso si ahora hacemos saber el valor de verdad. Lógica constructiva no se centra tanto en si las declaraciones son "realmente" verdadero o falso, en ese sentido - se centra en si debemos saber que un enunciado es verdadero, o saber que es falso. Otras respuestas han descrito esto como un enfoque en la prueba en lugar de la verdad.

Así que, antes de que alguien que trabaja en la construcción de las matemáticas puede afirmar una declaración, ella tiene que tener un hormigón justificación de la verdad de la declaración. Argumentos como el de la prueba por contradicción no están permitidos. El conectivo "o", en particular, tiene un significado diferente. Para afirmar un enunciado de la forma "a o B", constructivo matemáticos mucho saber que una de las dos opciones que tiene.

Un ejemplo de cómo medio excluido falla en este marco que se llamó una "débil contraejemplo" por Brouwer. Aquí hay uno (no sé si es debido a Brouwer). Considerar el número de $\pi$. Como un hecho, incluso en el clásico de las matemáticas en la actualidad no podemos saber si hay infinitamente muchas apariciones de el dígito 5 en la expansión decimal de $\pi$. Sea a la declaración de "hay infinitamente muchas apariciones de 5 en la expansión decimal de $\pi$". Entonces alguien que trabaja en la construcción de las matemáticas no se puede afirmar "o no", porque ella no sabe cual de las dos opciones que tiene. Por supuesto, "o no" es una instancia de la ley del medio excluido, y es válida en el clásico de las matemáticas.

El punto clave es que la primera diferencia entre constructivo y la lógica clásica se ocupa de lo que se necesita para hacer valer una frase en particular. Términos matemáticos tales como "o", "existe", y "no" toma un significado diferente en virtud de la mayor carga de la evidencia necesaria para afirmar instrucciones en la construcción de las matemáticas.

Answer 3

Intuitionistic de la lógica, de una.k.una. lógica constructiva, a diferencia de los clásicos de la lógica en que se centra en 'provability' de una declaración en lugar de la 'verdad'.

En la lógica clásica, todas las proposiciones son considerados para ser verdadero o falso; un xor de los otros. Sin embargo, en la lógica constructiva, una proposición sólo es considerado definitivamente verdadero o falso, si se justifica, para ser así (ya sea mediante evidencia directa o prueba lógica); de lo contrario, su verdad es de carácter indefinido. Por lo tanto el medio no está excluido.