La transformada de Laplace de una función de $f(t)$ es la proyección de $f(t)$ vector (indexado con $t$) en el conjunto linealmente independiente de vectores $e^{st}$. La proyección de un vector $\vec{v}$ en otro vector $\vec{w}$ es$$\vec{v}_{\vec{w}} = {{\vec{v} \cdot \vec{w}}\over{\vec{w} \cdot \vec{w}}}.$$Therefore,$$f(t)_{e^{st}} = {{f(t) \cdot e^{st}}\over{e^{st} \cdot e^{st}}} = \lim_{dt \to \infty} {{\sum_{k = 0}^\infty f(dt \cdot k) \cdot e^{e \cdot dt \cdot k}}\over{\sum_{k = 0}^\infty e^{2s \cdot dt \cdot k}}} = {{\int_0^\infty f(t) \cdot e^{st} \cdot dt}\over{\int_0^\infty e^{2st}\cdot dt}},\tag*{$(1)$}$$and this should be equal to$$\int_0^\infty f(t) \cdot e^{-st} \cdot dt.\tag*{$(2)$}$$If I am right up to this point, how can I prove that $(1)$ equals $(2)$? Y si yo hice un error en alguna parte, ¿dónde?
Respuesta
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En realidad, su corazón está en el lugar correcto; sólo tiene el mal interior del producto en la mente. En lugar de tomar el producto interior de $f$ $g$ $$\int_0^\infty f(t)g(t)\,dt,$$you should take it to be the average value of $ f(t)g(-t)$, in an appropriate sense; this will be proportional to$$\int_{-\infty}^\infty f(t)g(-t)\,dt,$$y por lo tanto usted puede utilizar esto en el numerador en lugar de en el interior del producto en sí, como si todo fuera sólo de manera uniforme reescalado.
Usted debe pensar en la restricción a valores positivos como parte de la definición de $f$, pero no parte de la base de vectores $t \mapsto e^{st}$ o de una parte de la definición de producto interior.
Es obvio que estos son vectores de la unidad de grados de magnitud en esta definición. Sin embargo, la afirmación de su ortogonalidad puede hacer que usted se siente incómodo, como las correspondientes integrales de no ser convergente en el sentido ordinario. Pero no son naturales sentidos en los que el valor promedio de $t \mapsto e^{(s_1 - s_2)t}$ debe ser considerado cero cada vez que $s_1 - s_2$ es distinto de cero; por una parte, este valor promedio debe ser, obviamente, sin cambios al cambiar de $t$, y por lo tanto cuando se multiplica $e^{s_1 - s_2}$, que sólo el cero sería. Si eso no es satisfactoria para usted, usted puede en lugar de interpretar nuestro medias tomadas a lo largo del eje imaginario en lugar de la real; esto equivale a sólo giratorio en la transformada de Fourier.
