¿Existe un anillo totalmente ordenado que no es conmutativo? He buscado en la web, pero no he encontrado ningún ejemplo.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La Wikipedia la definición de "ordenó anillo" requiere que el anillo de ser conmutativa, pero usted podría despojar a esa condición y aún así tener una idea sensata perfectamente. Yo hice una búsqueda en Google y encontré que esto se considera en Un Primer Curso en no conmutativa Anillos, que, de acuerdo a una búsqueda de Libros de Google vista previa, proporciona algunas construcciones para los ejemplos en los Ejercicios para $\S17$.
Aquí es Ex. 17.3, que se reproduce como mejor que puedo (dos errores tipográficos son fielmente reproducidos, otros son mías):
Deje $R$ por el álgebra de Weyl generado más de $\mathbb R$$x$$y$, con la relación $xy-yx=1$. Elementos de $R$ tienen la forma canónica $$r=r_0(x)+r_1(x)y+\cdots+r_n(x)y^n\text{,}$$where each $r_i(x)\in\mathbb R[x]$, $r_n(x)\ne0$ (if $r\ne0$). Let $P\subconjunto de R$ be the set of all nonzero elements $r\R$ above for which $r_n(x)$ has a positive leading coefficient. Show that $P$ defines an ordering "$<$" on $R$ on which $$\mathbb R<x<x^2<\cdots<y<xy<x^2y<\cdots<y^2<xy^2<x^2y^2<\cdots\text{.}$$
