La función entre dos funciones medibles es mensurable

Question

Deje $f$ ser una función en $\mathbb{R}^n$. Supongamos que para cualquier $\epsilon>0$, existen funciones medibles $g, h \in L^1(\mathbb{R}^n)$ tal que $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ todos los $x \in \mathbb{R}^n$ e $$ \int_{\mathbb{R}^n} (h(x)-g(x))\, dx < \epsilon $$ Demostrar que $f$ es medible en $\mathbb{R}^n$$f \in L^1(\mathbb{R}^n)$.

Mi primer pensamiento fue para mostrar que $f(x)$ es un pointwise límite de funciones medibles; pero puesto que toda la información que tenemos acerca de $f(x)$$L^1$, sería difícil considerar pointwise límites.

Mis problemas son:

(1) no estoy seguro de cómo demostrar a $f$ es medible. Para establecer la cuantificación de $f(x)$, tengo que ir a través de la definición de que la $\{x: f(x)<c\}$ es medibles para todos los $c$. Ahora $\{x: f(x)<c\} = \{x: \exists h \, \text{measurable s.t.}\, f(x)\leq h(x)<c\}$, y el problema es que no estoy seguro de cómo expresar el segundo como una contables de la unión de conjuntos medibles.

(2) me preguntaba si la siguiente prueba para $f \in L^1$ es correcta: Asumiendo $f$ es medible, queremos mostrar que $f \in L^1(\mathbb{R}^n)$. Para cualquier $n\in \mathbb{N}$, $h_n, g_n \in L^1$ $h_n(x)\leq f(x) \leq g_n(x)$ todos los $x$$\int |f(x)-h_n(x)|\, dx = \int f(x)-h_n(x)\, dx \leq \int g_n(x)-h_n(x)\, dx < 1/n$. Por lo tanto $||f-h_n||_{L^1} < 1/n$, y por lo tanto $f \in L^1$ por la integridad de la $L^1$.

En resumen, agradezco cualquier ayuda/sugerencia sobre la medición de la $f(x)$, y comprobar si la prueba de (2) es correcta. Gracias!

Answer 1

No es muy útil, resultado que es casi seguro que se demostraron en el camino para probar la integridad de $L^p(\mu)$:

Si $u_n(x)$ es una secuencia en $L^p(\mu)$ convergentes a $u(x)$ con respecto al $L^p(\mu)$ norma, entonces existe una larga $u_{n_m}(x)$ $u_n(x)$ que converge a $u(x)$ pointwise en casi todos los $x$.

[Si usted realmente no tiene una prueba de esto ya, entonces eche un vistazo en Rudin Teorema 3.12.]

Vamos a aplicar este teorema a la parte (1) de su problema. En su post original, se observa que, para todos los $n \in \mathbb N$, podemos encontrar una $g_n(x)$ $h_n(x)$ $L^1(\mathbb R^n)$ tal que $$g_n(x) \leq f(x) \leq h_n(x) \ \ \ \ \ \ \ \ {\rm and} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ || g_n - h_n ||_{L^1(\mathbb R^n)} < \frac 1 n.$$ Aplicar el teorema anterior a $u_n (x) = h_n(x) - g_n(x)$, nos encontramos con que no debe existir subsecuencias $g_{n_m}(x)$ $h_{n_m}(x)$ tal que $ g_{n_m} (x)$ $h_{n_m}(x)$ ambos convergen a $f(x)$ pointwise en casi todos los $x$. Por lo tanto $f(x)$, siendo la una.e. pointwise límite de una secuencia de Lebesgue medibles funciones, deben también ser Lebesgue medibles.

Answer 2

Sugerencia: Considere el supremo de una secuencia de$g$ y el infimo de una secuencia de$h$.

Answer 3

(1) Medibilidad de$f(x)$. Gracias a la pista de @Robert Israel

Deje$g_n, h_n \in L^1$ ser tal que$h_n(x) \leq f(x) \leq g_n(x)$ para todos$x$ y$\int g_n(x)-h_n(x)\, dx < 1/n$. Deje que$h(x) = \limsup h_n(x)$ y$g(x) = \liminf g_n(x)$, por lo que$h(x) \leq f(x) \leq g(x)$ para todos$x$ y$h, g$ sean mensurables. Además, por el Lemma de Fatou,$\int g(x)-h(x)\, dx \leq \liminf \int g_n(x)-h_n(x)\, dx =0$, entonces$g(x)=h(x)$ ae Por lo tanto$g(x)=h(x)=f(x)$ ae, entonces$f$ es mensurable.

(2)$f \in L^1$. La prueba original es correcta, y @Bungo señala una versión más fácil.