¿Hay alguna fórmula para esta suma de poder de enteros positivos?

Question

Me pregunto si hay alguna fórmula para esta suma. $$k^\gamma+(k-1)^\gamma+\cdots+1^\gamma, donde$k$ es un entero positivo y$\gamma\in(0,1)$. Y qué tal $\gamma<0$? ¿O se sabe algo asintótico cuando$k$ tiende al infinito?

Answer 1

La suma da$\sum _{j=1}^k j^\gamma = H_k^{(-\gamma)}$ que es el número armónico de orden$\gamma.$

Una excelente aproximación que he encontrado es

ps

para$$\sum _{j=1}^k j^{\gamma}\approx \left(\frac{\gamma}{12 k}+\frac{k}{\gamma+1} + \frac{1}{2}\right) k^{\gamma}+\frac{1}{2} \gamma \log (2 \pi )-\frac{1}{2}$Obtuve los siguientes resultados. Es una aproximación asintótica, por lo que funciona mejor para$\gamma=0.5$. Para$k$% negativo, la aproximación funciona bien si$\gamma$

$$\begin{array}{r|r|r} k & H_k^{(-\frac12)}& \textit{approximation}\\ \hline 1 & 1 & 1.1678 \\ 11 & 25.7849 & 25.9523 \\ 21 & 66.2486 & 66.4159 \\ 31 & 117.651 & 117.818 \\ 41 & 178.019 & 178.186 \\ 51 & 246.177 & 246.345 \\ 61 & 321.319 & 321.487 \\ 71 & 402.848 & 403.015 \\ 81 & 490.297 & 490.464 \\ 91 & 583.289 & 583.457 \\ 101 & 681.513 & 681.68 \end {array}$$

Answer 2

Este parece ser estudiado aquí:

La generalización de Faulhaber la fórmula de la suma de los no-integral poderes (McGowna. Parques - Revista de Análisis Matemático y Aplicaciones - v 330, 1, 1 de junio de 2007)

No se ha demostrado que la

$$(a+1) \sum_{n=1}^N n^a = N^\gamma F_a(N) + (a+1) \zeta(-a)+O(N^{-\beta})$$

donde $a\ge -1$ y no entero (en realidad es también válido para las complejas $a$ con parte real mayor que $1$), $\beta = m -a$, $m=\lfloor a+1 \rfloor$, $\gamma = -(m-a)$ y

$$F_a(N)=N^{m+1} + \sum_{k=1}^m (-1)^k {a+1 \choose k}B_k N^{m-k+1}$$

con $B_k$ denotan los números de Bernoulli.