Ecuación de la función de seguimiento

Question

Deje$a,b\in\mathbb{F}_{2^{m}}$ (un campo de la característica$2$, m impar), con$a,b\neq 0$. Necesito probar eso

ps

donde$$\sum_{i=1}^{(m-1)/2}\operatorname{tr}(a^{2^{i}}b+b^{2^{i}}a)=0\qquad \text{ iff }\qquad a=b,$ es la función de rastreo.

Answer 1

Desde el formulario de toma valores en el primer campo es casi imposible para que desaparezca sólo al $a=b$. De hecho, para un determinado $a$ se desvanece al menos la mitad de los posibles valores de $b$ (si no todos) por bilinearity solo. Por lo tanto supongo que la pregunta es, realmente, para demostrar que el bilineal forma se desvanece cuando $a=b$.

Doy dos pruebas. El último es el más trivial, pero el primero es sugerido por mi respuesta a otra pregunta sobre este formulario. No me derivar la fórmula $$B(a,b)=tr(ab)+tr(a)tr(b).$$ Utilizando el hecho de $tr(a)=tr(a^2)$ (el Frobenius conjugados tienen la misma traza) se puede deducir la presente reclamación fácilmente. Si $a=b$ hemos $$B(a,a)=tr(a^2)+tr(a)^2=tr(a)+tr(a)^2.$$ Como $tr(a)$ es $0$ o $1$ esto es igual a cero.

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Oh, querida, soy lento. Aquí está una sencilla prueba:

Si $a=b$, $a^{2^i}b+ab^{2^i}=a^{1+2^i}+a^{1+2^i}=0$ todos los $a$ y todos los $i$. La reclamación se sigue inmediatamente de esto.

Answer 2

Algunas ideas (muy largo para un comentario):

1) $\,tr(x+y)=tr(x)+tr(y)\,$ ;

2) Por Hilbert Teorema de 90 (aditivo formulario) (página 4) , obtenemos que

$$tr(x)=0\Longleftrightarrow x=\alpha-\alpha^2\;\;,\;\;\alpha\in\Bbb F_{2^{m-1}}$$

3) Cada elemento de a $\,\Bbb F_{2^{m-1}}\,$ es un cuadrado