Factores Klein y teoría de campo conformacional

Question

Considerar el modo de expansión de un (quirales) escalar campo confinado a un disco con la circunferencia de la L: $$\phi(x) = \phi_{0} + p_{\phi} \frac{2\pi}{L} x + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} e^{-(k_{n})/2} \left(e^{-ik_{n}x} \ b_{n}^{\daga}+e^{ik_{n}x} \ b_{n}\right)$$ con $k_{n}=\frac{2\pi n}{L}$ , $\phi_{0}$ algunas cero", de modo", $p_{\phi}$ algunos "conjugado momentum" y $a$ algunos de corta distancia de corte. Los operadores cumplir con los siguientes bosonic relaciones de conmutación $$\left[b_{n}^{\daga} , b_{n}\right]=\delta_{n,n'} \quad\text{y}\quad \left[\phi_{0},p_{\phi}\right]=i$$

(Fermionic) Vértice de los operadores están definidos por $$V_{\alpha}(x)=:e^{i\alpha\phi(x)}:$$ con $: \ ... \ :$ denotando normal de ordenar. La inserción de la expansión de modo de $\phi(x)$ en la definición de los vértices del operador, los rendimientos de orden más bajo en $\frac{a}{L}$:

$$:e^{i\alpha\phi(x)}: = \left(\frac{L}{2\pi}\right)^{\Delta(\alpha)} e^{i\alpha\phi(x)}$$ con la "ampliación de la dimensión" $\Delta(\alpha)=\frac{\alpha^{2}}{2}$. El pre factor en el lado derecho en la parte delantera de la exponencial es a veces llamado "Klein factor".

Ahora aquí están mis preguntas (Que pueden ser realmente "Novato"-CFT-preguntas;) ) :

1. Desde el lado derecho es sólo una aproximación de de $:e^{i\alpha\phi(x)}:$ a menor me pregunto si el lado izquierdo se reproduce la correcta (decir) fermonic conmutadores en todos los casos y si lado sólo parcialmente reproduce la correcta fermonic los conmutadores?

2. Si el derecho-handside sólo hecho sólo parcialmente reproduce la correcta relaciones de conmutación ¿cómo podemos decir que un determinado producto de fermionic operadores (dicen que un producto de 3 fermionic operadores) de hecho que obedece a la correcta sermonic los conmutadores cuando está escrito en el "bosonized lengua"?

3. ¿Cuál es la importancia de la mayor orden de los términos en $\frac{a}{L}$ en la "expansión" de los vértices del operador?

4. Es todo esto de una forma más general de la construcción en CFT?

Espero sus respuestas!

Answer 1

El límite físico es $a\to 0$, por lo que los términos en que el operador que se subleading en $a/L$ va a cero y puede despreciarse.

Esta es una situación diferente de la computación de diversas sumas e integrales (en funciones de Green y la dispersión de las amplitudes), cuyos principales términos en una expansión divergen. El líder divergentes pieza puede ser no físico y obtener resta por renormalization como un asunto de la regla. En ese caso, el subleading términos de mayo de materia y continuar de un número finito de respuesta para el resultado final.

Pero el $:\exp:$ operador es realmente "en su mayoría" contenida en el líder de la pieza y la principal pieza no obtener resta en la definición del operador, por lo que el subleading términos en $a/L$ puede ser ignorada como la intuición sugiere.