Fórmula para$\theta:\mathfrak{P}(L)^{G}\to \mathfrak{P}(H)^{W}$ para$\mathfrak{sl}_2$; ejercicio en Humphrey

Question

Deje $L=\mathfrak{sl}(2,\mathbb{F})$ con el estándar de base $(x, y, h)$ y la base dual $(x^{*}, y^{*}, h^{*})$, $H$ un CSA, $W$ el grupo de Weyl y $G=\operatorname{Int}L$.

Deje $\mathfrak{P}(L)^{G}$ ser el subalgebra de $G$-invariante funciones polinómicas en $L$, $\mathfrak{P}(H)^{W}$ el subalgebra de $W$-invariante funciones polinómicas y $\theta: \mathfrak{P}(L)^{G} \to \mathfrak{P}(H)^{W}$ el álgebra homomorphism dada por la restricción de $f\in\mathfrak{P}(L)^{G}$$H$.

Estoy tratando de demostrar que $\theta(h^{*2}+x^{*}y^{*})=\lambda^{2}$ $\lambda=\frac{1}{2}\alpha$ fundamental dominante de peso.

En J. E. Humphreys "Introducción a las Álgebras de Lie y la Teoría de la Representación" se dice que este es un "fácil seguimiento polinomio de cálculo", pero no tengo ni idea de por dónde empezar.

Muchas gracias por ayudarme.

Answer 1

La función de polinomio$f=(h^*)^2+x^* y^*$ toma el valor$$f(\ell)=h^*(\ell)^2+x^*(\ell) y^*(\ell)$$ on any $ \ ell \ en L$. Evaluating it on $ ch$ for a number $ c $ por lo tanto da$$f(ch)=h^*(ch)^2+x^*(h) y^*(h)=c^2+0 \cdot 0=c^2.$$ This is the same as the value of $ \ lambda ^ 2$ on $ ch$ (by definition $ \ lambda$ is the dual basis element to the positive coroot $ h$), so these are the same function on the Cartan subalgebra $ \ mathbf {C} h$ of $ L $.

Tampoco entiendo qué se entiende por cálculo de polinomios de traza , pero me parece que la forma de pensar anterior es máximamente eficiente.