Evaluar$\sum_{m=j_2-j}^{j_1} \frac{(j_1+m)!(j_2+j-m)!}{(j_1-m)!(j_2-j+m)!}$ usando identidades combinatorias

Question

Estoy tratando de probar la identidad $$\sum_{m=j_2-j}^{j_1} \frac{(j_1+m)!(j_2+j-m)!}{(j_1-m)!(j_2-j+m)!}= \frac{(j+j_1-j_2)!(j-j_1+j_2)!(j+j_1+j_2+1)!}{(j_1+j_2-j)!(2j+1)!} \etiqueta{1}$$ donde$2j_1,2j_2\in \mathbb{Z}^+$$\vert 2j_1-2j_2\vert\le 2j\le 2(j_1+j_2)$. La suma de más de $m$ es en los pasos de $1$$j-j_2$$j_1$. Esta suma se produce como parte de una normalización en la condición de $su(2)$ Clebsch-Gordan de los coeficientes.

Al parecer, para demostrar esto se debe utilizar el binomio de identidades $$\begin{align} \sum_{x} {a\choose x}{b\choose c-x}&={a+b\choose c} \tag{2}\\ {u \choose v}&= (-1)^v {v-u-1\choose v}\, . \tag{3} \end{align}$$

He encontrado en la Eq.(6.1) de este volumen que (2) se conoce como la integral de Vandermonde de Convolución. (3) puede encontrarse como Eq.(2.1) de este artículo.

Mi dificultad está en ver la relevancia de (2) desde el lado izquierdo de (1) contiene la suma del índice de $m$ en el numerador y el denominador, mientras que el índice ficticio en (2) sólo aparece en el denominador.

Tengo que lidiar con varias variantes de esta suma fórmula, por lo que cualquier ayuda en la reducción de la brecha entre la derecha y a la izquierda de (1) se agradece.

Answer 1

Aquí está una racionalización de la variante.

El siguiente es válido para enteros $j_1,j_2,j$$0\leq j_2-j\leq j_1$. $$\begin{align*} \frac{1}{(j+j_1-j_2)!(j-j_1+j_2)!}\sum_{m=j_2-j}^{j_1}\frac{(j_1+m)!(j_2+j-m)!}{(j_1-m)!(j_2-j+m)!}= \frac{(j+j_1+j_2+1)!}{(j_1+j_2-j)!(2j+1)!} \end{align*}$$

Obtenemos

$$\begin{align*} &\color{blue}{\frac{1}{(j+j_1-j_2)!(j-j_1+j_2)!}\sum_{m=j_2-j}^{j_1}\frac{(j_1+m)!(j_2+j-m)!}{(j_1-m)!(j_2-j+m)!}}\\ &\qquad=\sum_{m=j_2-j}^{j_1}\binom{j_1+m}{j_2-j+m}\binom{j_2+j-m}{j_1-m}\tag{1}\\ &\qquad=\sum_{m=j_2-j}^{j_1}\binom{-j_1+j_2-j-1}{j_2-j+m}(-1)^{j_2-j+m}\binom{-j_2-j+j_1-1}{j_1-m}(-1)^{j_1-m}\tag{2}\\ &\qquad=(-1)^{j_1+j_2-j}\sum_{m=0}^{j_1+j_2-j}\binom{-j_1+j_2-j-1}{m}\binom{-j_2-j+j_1-1}{j_1+j_2-j-m}\tag{3}\\ &\qquad=(-1)^{j_1+j_2-j}\binom{-2j-2}{j_1+j_2-j}\tag{4}\\ &\qquad\color{blue}{=\binom{j_1+j_2+j+1}{j_1+j_2-j}}\tag{5} \end{align*}$$ y el reclamo de la siguiente manera.

Comentario:

• En (1) obtenemos la factoriales y escribir como los coeficientes binomiales.

• En (2) aplicamos dos veces el binomio identidad $$\begin{align*} \binom{-p}{q}=\binom{p+q-1}{q}(-1)^q \end{align*}$$

• En (3) se cambio el índice de inicio de $m=0$.

• En (4) aplicamos Vandermonde de la identidad.

• En (5) aplicamos de nuevo la identidad, como en (2).

Answer 2

Por favor, tenga en cuenta que si esta respuesta no es tan riguroso como te puede gustar, a continuación, os exhorto a completar los detalles.

Estoy pensando que usted puede reorganizar $(1)$ en el formulario

$$\sum_{m=j_2-j}^{j_1} \frac{(j_1+m)!}{(j_2-j+m)!(j+j_1-j_2)!}\frac{(j_2+j-m)!}{(j_1-m)!(j-j_1+j_2)!}\stackrel{?}{=} \frac{(j+j_1+j_2+1)!}{(j_1+j_2-j)!(2j+1)!}$$

o

$$\sum_{m=j_2-j}^{j_1} \binom{j_1+m}{j_2-j+m}\binom{j_2+j-m}{j_1-m}\stackrel{?}{=} \frac{(j+j_1+j_2+1)!}{(j_1+j_2-j)!(2j+1)!}\la etiqueta{*}$$

El uso de $(3)$ en el lado izquierdo de suma

$$\sum_{m=j_2-j}^{j_1} (-1)^{j_2-j+m}\binom{j_2-j_1-j-1}{j_2-j+m}(-1)^{j_1-m}\binom{j_1-j_2-j-1}{j_1-m}$$

da

$$(-1)^{j_1+j_2-j}\sum_{m=j_2-j}^{j_1} \binom{j_2-j_1-j-1}{j_2-j+m}\binom{j_1-j_2-j-1}{j_1-m}$$

a continuación, llame a $x=j_2-j+m$$c=j_1+j_2-j$, por lo que hemos de $(2)$

$$(-1)^{j_1+j_2-j}\sum_{x=2(j_2-j)}^{j_2+j_1-j} \binom{j_2-j_1-j-1}{x}\binom{j_1-j_2-j-1}{c-x}=\binom{-2j-2}{j_1+j_2-j}\tag{**}$$

Ahora uso $(3)$ en el lado derecho de la $(\text{**})$

$$\begin{align}(-1)^{j_1+j_2-j}\sum_{x=2(j_2-j)}^{j_2+j_1-j} \binom{j_2-j_1+j+1}{x}\binom{j_2-j_1+j-1}{c-x}=&(-1)^{j_1+j_2-j}\binom{j+j_1+j_2+1}{j_1+j_2-j}\\[1ex]\implies\sum_{x=2(j_2-j)}^{j_2+j_1-j} \binom{j_2-j_1+j+1}{x}\binom{j_2-j_1+j-1}{c-x}&=\frac{(j+j_1+j_2+1)!}{(j_1+j_2-j)!(2j+1)!}\end{align}$$

cual es el lado derecho de la $(\text{*})$.

Aviso que estoy jugando rápido y suelto con límites en la Vandermonde suma. Se los dejo a usted para asegurarse de que obedecer $(2)$.