Elección de los ejes principales para la parte superior simétrica

Question

Estoy siguiendo a Landau. Aquí $\mathbf{L}$ es el momento angular y $\mathbf{\Omega}$ es la velocidad angular. El tratamiento cualitativo para la parte superior simétrica en ausencia de gravedad comienza eligiendo ejes principales del cuerpo tales que $\mathbf{L\cdot e_2}=0$ , donde { $\mathbf{e_1,e_2,e_3}$ } son las direcciones de los ejes principales y $\mathbf{e_3}$ es el eje de simetría

Ahora, como el cuerpo va a precesar sobre $\mathbf{L}$ el movimiento es tal que $\mathbf{e_3, L, \Omega, e_1}$ todos forman un plano que gira, visto en el marco inercial. Sin embargo, eso significa, $\mathbf{e_2\cdot L}$ sigue siendo cero. Quería mostrar esto, antes de continuar.

$$\frac{d}{dt}(\mathbf{L\cdot e_2}) = \mathbf{L}\cdot(\Omega\times \mathbf{e_2}) = -I_1\Omega_1\Omega_3+I_3\Omega_3 \Omega_1 \neq 0 \quad\text{since } I_1 = I_2\neq I_3 $$

¿Puede señalar dónde he cometido un error? Ya que si $\Omega_2$ es en realidad cero para todo el tiempo, esto no tiene sentido. Por cierto, si escribo una ecuación similar para la tercera componente me da $L_3= const.$ , lo cual es correcto.

Answer 1

Ahora que he vuelto a leer Landau & Lifshitz he entendido realmente su error. En la sección 33 (página 106 de la última edición inglesa) consideran el tope simétrico en el marco inercial. En un instante dado, los ejes fijos en el espacio se eligen para que coincidan con el eje principal del cuerpo y eligieron el eje principal $x_2$ para que sea perpendicular a $\vec L$ . Entonces $$L_2=I_2\Omega_2=0\Rightarrow \Omega_2=0.$$ La cima simétrica tiene infinitos conjuntos de ejes principales - cualquier par de ejes mutuamente perpendiculares con el eje de simetría (y con el mismo origen) es un par de ejes principales - por lo que es posible encontrar ejes principales que no estén rígidamente unidos al cuerpo. En cada instante podemos elegir $x_2$ satisfactorio para que $\Omega_2=0$ , de tal manera que $x_3$ , $\vec L$ y $\vec \Omega$ están en el mismo plano. La velocidad angular y $x_3$ están en precesión sobre $\vec L$ . Nótese que esto se ve en el marco inercial.

Por otro lado, en la sección 36 (página 115) vuelven a considerar el mismo problema pero esta vez en otro marco de referencia, concretamente el marco no inercial rígidamente unido al cuerpo y dado por el eje principal. Las ecuaciones de movimiento son las siguientes $$\dot\Omega_1+(I_3-I_2)\Omega_2\Omega_3/I_1=0,$$ $$\dot\Omega_2+(I_1-I_3)\Omega_3\Omega_1/I_2=0,$$ $$\dot\Omega_3+(I_2-I_1)\Omega_1\Omega_2/I_3=0\Rightarrow\dot\Omega_3=0.$$ Las dos primeras ecuaciones tienen la solución, $$\Omega_1=A\cos\omega t,\quad \Omega_2=A\sin\omega t,$$ donde $$\omega=\frac{\Omega_3(I_3-I_1)}{I_1}\neq 0.$$ La precesión de la velocidad angular, como se ve aquí, es con respecto al eje fijado al cuerpo que gira por sí mismo con velocidad angular $\Omega$ . Por lo tanto, es difícil visualizar este movimiento.