Cuan difícil se puede diferencial de la forma, colector y de la cadena ser para el teorema de Stokes?

Question

Cuando supe por primera vez el teorema de Stokes, todo lo que se supone que para ser suave para evitar cualquier cosas extrañas suceden. Pero para aplicar a más de los casos, se puede necesitar el uso de una versión del teorema de Stokes que tiene para los más áspero formas, las cadenas y los colectores. Por ejemplo, cuando me enteré de Cauchy teorema de la integral, los caminos y las funciones analíticas son sólo supone ser $C^1$.

Hace teorema de Stokes para mantener meramente $C^1$ formas, las cadenas y los colectores? Yo creo que sí, porque sólo nos exterior diferenciar una vez en la ecuación del teorema de Stokes, y la retirada por parte de la cadena (parametrisation de superficies) sólo se utiliza la primera derivada, mientras que la continuidad de la derivada primera se agrega para garantizar el exterior derivado de ($d\omega$) y el retroceso de formulario ($(\partial c)^*\omega$) es integrable.

Edit: veo que el teorema de Stokes tiene para los colectores con las esquinas. Supongo que estos son equivalentes a seccionalmente suave de las superficies, líneas, etc. Sin embargo, no es todo de lo que yo estoy preguntando acerca de. Me estoy preguntando si el teorema de Stokes mantiene cuando el diferencial de la forma, el colector y la cadena son simplemente asume que $C^1$.

Answer 1

Stokes teorema vale para colectores con las esquinas. El siguiente es el Teorema de $16.25$ en la página $419$, en Juan M. Lee el libro de $\textit{Introduction to Smooth Manifolds}$.

$\textbf{Theorem}$ (Teorema $16.25$, [Lee]). Deje $M$ ser una orientada liso $n$-colector con las esquinas, y deje $\omega$ ser una compacta compatible liso $(n-1)$-forma en $M$. Entonces $$\int_M d\omega = \int_{\partial M}\omega.$$

El autor demuestra el teorema anterior en el libro. Además, Lee también discute y demuestra Stokes' teorema de la superficie de las integrales (ver Teorema $16.34$ en la página $427$).

$\textbf{Theorem}$ (Teorema $16.34$, [Lee]). Deje $M$ ser una orientada a Riemann $3$-colector con o sin límite, y deje $S$ ser un equipo compacto orientado $2$-dimensiones suave submanifold con límite en $M$. Para cualquier campo vectorial suave $X$$M$, $$\int_S \langle \text{curl } X,N \rangle_g \:dA = \int_{\parcial S}\langle X,T\rangle_g \: ds,$$ donde $N$ es el liso de la unidad normal de campo vectorial a lo largo de $S$ que determina su orientación, $ds$ es la de Riemann forma de volumen para $\partial S$ (con respecto a la métrica y la orientación inducida de $S$), y $T$ es la única orientación positiva de la unidad de vector tangente campo en $\partial S$.

Answer 2

En Lang Análisis Real encontrará el Teorema de Stokes se establece por una $C^2$ colector y $C^1$ formulario $\omega$. Él va a discutir qué hacer con singularidades.

Aunque Lang afirma la existencia de una $C^2$ partición de la unidad utilizando el $C^2$ hipótesis, una $C^1$ partición de la unidad es suficiente. Sin embargo, como @MatheinBoulomenos me señaló en el chat, usted necesita un $C^2$ gráfico con el fin de estar seguro de que el pullback de la $C^1$ formulario (golpeado por el $C^1$ partición de la unidad) es todavía un $C^1$ formulario. (Lang es muy descuidado acerca de prestar atención a los detalles en este sentido.) Entonces es el habitual de la computación.