$$\frac{EG}{EF}=\frac{t}{1-t}$$
Hice un cálculo masivo de fuerza bruta basado en coordenadas, basado en algunos conceptos de la geometría proyectiva. Sin pérdida de generalidad $A,B,C,D$ son puntos del círculo unitario, ninguno de ellos $(-1,0)$ . Comienza con cuatro parámetros $a,b,c,d$ y utilízalas para describir cuatro puntos de la circunferencia unitaria utilizando la fórmula del semiángulo tangente. Utiliza las coordenadas homogéneas para describirlos.
$$A=\begin{pmatrix}1-a^2\\2a\\1+a^2\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}1-b^2\\2b\\1+b^2\end{pmatrix}\qquad C=\begin{pmatrix}1-c^2\\2c\\1+c^2\end{pmatrix}\qquad D=\begin{pmatrix}1-d^2\\2d\\1+d^2\end{pmatrix}$$
Computar $E$ como
$$E=(A\times B)\times (C\times D)$$
Computar $M$ como
$$M=(1-t)B_3A + tA_3B$$
escalando por la tercera coordenada para obtener representantes homogéneos compatibles. Hallar la matriz de la circunferencia que pasa por $D,E,M$ para ser
$$Q=\scriptscriptstyle\begin{pmatrix} - a b c - a b d + a c d + b c d - a - b + c + d & 0 & - a c d t + b c d t - a b d + a c d + a t - b t + b - c \\ 0 & - a b c - a b d + a c d + b c d - a - b + c + d & a c t - b c t + a d t - b d t + a b - a c + b d - c d \\ - a c d t + b c d t - a b d + a c d + a t - b t + b - c & a c t - b c t + a d t - b d t + a b - a c + b d - c d & -2 a c d t + 2 b c d t + a b c - a b d + a c d - b c d - 2 a t + 2 b t + a - b + c - d \end{pmatrix}$$
Una forma de hacerlo es encontrar la cónica a través de cinco puntos, los tres nombrados anteriormente y los puntos del círculo ideal $(1,\pm i,0)$ . Los detalles podrían ser mejor en una pregunta separada. Basta con mostrar que
$$0=D^T\cdot Q\cdot D=E^T\cdot Q\cdot E=M^T\cdot Q\cdot M$$
por lo que los tres puntos son incidentes con el círculo. Ahora
$$g=Q\cdot E$$
es la tangente a esta circunferencia en el punto $E$ . Este es un caso especial de cálculo de la recta polar a un punto dado utilizando esta forma de punto de tiempos cónicos. Entonces
$$F=g\times(B\times C)\qquad G=g\times(A\times C)$$
Deshomogeneizar los puntos (es decir, dividir por la tercera coordenada) y calcular los vectores de distancia. Como he intentado hacer todos los cálculos con polinomios y evitar las raíces cuadradas, he calculado los cuadrados de las normas de las distancias correspondientes.
$$\frac{\lVert E/E_3-G/G_3\rVert^2}{\lVert E/E_3-F/F_3\rVert^2}= \frac{t^2}{(1-t)^2}$$
Una rápida comprobación de cordura para asegurarse de que el signo tiene sentido después de soltar los cuadrados, y ahí está la respuesta. No es un método elegante, pero funciona. Y quizás conocer el resultado deseado ayude a alguien a encontrar una forma más bonita de probarlo.
