Para cada cardenal $\kappa$ ¿existe un álgebra Booleana que tiene exactamente $\kappa$ muchos ultrafilters?

Question

Para cada cardenal $\kappa$ ¿existe un álgebra Booleana que tiene exactamente $\kappa$ muchos ultrafilters?

Por Jech del Ejercicio I. 7.25, sé que un álgebra de boole tiene al menos tantos ultrafilters en ella, ya que tiene elementos.

Es fácil contestar la pregunta anterior? Si no, ¿cuáles son buenos recursos para esto?

Answer 1

Si $X$ es compacto Hausdorff y cero-dimensional sus clopen álgebra Clop($X$) sólo se ha fijado ultrafilters por compacidad, exactamente $|X|$ muchos.

Creo que por cada infinita cardenal $\kappa$, su sucesor ordinal $\kappa +1$ en el orden de la topología es sólo un espacio de este tipo. Así que, sí. (Para un finito cardenales $n$ acaba de tomar $\mathscr{P}(n)$ del curso).

Answer 2

Deje $FC(X)$ denotar el álgebra de boole finitas y co-finito subconjuntos de a $X$.
A continuación, el ultrafilters de $FC(X)$ son los principales filtros de $\uparrow\!\{x\}$, $x \in X$ junto con la libre ultrafilter que consiste en la co-finito subconjuntos de a $X$ (ver aquí).
Por lo $FC(X)$ $\kappa$ muchos ultrafilters, siempre que $|X| = \kappa$.