Problema de los números complejos superduros: no existen $n>1$ números complejos $z_1, z_2, \ldots, z_n$ , no hay dos iguales, tal que para todo $1 \le k \le n$

Question

Demostrar que no existen $n>1$ números complejos $z_1, z_2, \ldots, z_n$ , no hay dos iguales, tal que para todo $1 \le k \le n$

$$ \prod\limits_{i\neq k} (z_k-z_i)=\prod\limits_{i\neq k} (z_k+z_i)$$

A primera vista parece muy fácil de resolver pero después de probar algunos métodos no puedo resolverlo.Parece que no tiene soluciones así que intenté demostrar que su diferencia no puede ser siempre igual a cero pero no puedo. $n=2$ Podría resolverse fácilmente con $$z_1-z_2 = z_1+z_2 = z_2+z_1 = z_2-z_1$$

Lo que obliga a tener $z_1=z_2$ El caso $n=3$ lleva algo de tiempo pero no es muy difícil comprobar que no tenemos soluciones ahí también.Pero no sé cómo resolverlo en el caso general quizás la inducción podría funcionar pero no puedo resolverlo usando eso también.¿Alguna pista?

Fuente:Tercera ronda de la olimpiada de matemáticas de Irán.

Answer 1

Primero se reduce al caso en que todos los $z_i$ son distintos de cero.

Definir polinomios $p,q,r$ por $p(z)=\prod_{i=1}^n(z-z_i)$ y $q(z)=2z\frac{dp}{dz}$ y $r(z)=\prod_{i=1}^n(z+z_i).$ Entonces sus ecuaciones son equivalentes a $q(z_k)=r(z_k)$ para $1\leq k\leq n.$ Esto implica $q+(-1)^np=r:$ ambas partes coinciden en $n$ puntos y a cero. Pero entonces los coeficientes principales sólo coinciden si $2n+(-1)^n=1,$ que obliga a $n\leq 1.$

Answer 2

Dejemos que $n>1$ . Dejemos que $z_1,...,z_n \in \mathbb C$ todos diferentes entre sí. Para $k=1,...,n$ , dejemos que $$p_k = \Pi_{i\ne k} (z-z_i) = (z-z_k)^{-1} \Pi_{i} (z-z_i)$$ $$q_k = \Pi_{i\ne k} (z+z_i) = (z+z_k)^{-1} \Pi_{i} (z+z_i)$$ Supongamos que, para $k=1,...,n$ tenemos $p_k=q_k$ . $$\implies (z-z_k)^{-1} \Pi_{i} (z-z_i) = (z+z_k)^{-1} \Pi_{i} (z+z_i) \quad \forall k=1,...,n$$ $$\implies (z-z_k)^{-1} = (z+z_k)^{-1} \quad \forall k=1,...,n$$ $$\implies z+z_k = z-z_k \quad \forall k=1,...,n$$ $$\implies z_k = -z_k \quad \forall k=1,...,n$$ $$\implies z_k = 0 \quad \forall k=1,...,n$$ Así que todos los $z_k$ son iguales (a cero). Lo que contradice nuestra hipótesis.

Nota : Siento que hice algo mal ya que obtuve el resultado más fuerte que todos los $z_k$ debe ser $0$ (y no sólo diferentes entre sí). La hora del café.