"Perfeccionar" un endomorfismo en una categoría

Question

Deje $\mathcal{C}$ ser un completo categoría y supongamos $f: X \to X$ es un endomorfismo en $\mathcal{C}$. Asociados a $f$ es una función inversa del sistema, $$X_\bullet: \dots \to X \to X \to X \to X,$$ donde cada flecha es $f$, y podemos formar un mapa de la inversa de los sistemas de $f_\bullet: X_\bullet \to X_\bullet$, de nuevo a través de $f$. Tomando inversa límites, llegamos a $\hat{f}: \hat{X} \to \hat{X}$.

En cualquier hormigón categoría donde inversa límites, puede ser representado como conjuntos de secuencias coherentes, es fácil ver que $\hat{f}$ es un epimorphism. En efecto, dada una secuencia coherente $(x_0, x_1, \dots)$, tenemos que $$\hat{f}(x_1,x_2,\dots) = (f(x_1),f(x_2),\dots) = (x_0,x_1,\dots).$$

Es cierto siempre que $\hat{f}$ es un epi? Si no, ¿qué ejemplos de lo contrario existe? ¿Qué tipo de condiciones que podrían ser impuestas a $\mathcal{C}$ asegurar $\hat{f}$ es un epi?

Parece que esto tiene para una gran clase de categorías (por ejemplo, todo completo abelian categorías, por Freyd–Mitchell), así que tengo curiosidad por ver cómo acaba general de lo que realmente es.

Answer 1

De hecho, se puede demostrar que en la categoría de conjuntos de esta $\hat{f}$ es incluso un isomorfismo : de hecho, en esa categoría $\hat{X}$ puede ser representado como el conjunto coherente de secuencias de mención, y tiene un mapa $$\gamma:\hat{X}\to \hat{X}:(x_0,x_1,x_2,\dots)\mapsto (x_1,x_2,\dots).$$ Se han demostrado ya que el $\hat{f}\gamma=id_{\hat{X}}$, y es fácil ver que $\gamma \hat{f}=id_{\hat{X}}$.

Ahora, utilizando este hecho, se puede demostrar que, de hecho, $\hat{f}$ debe ser un isomorfismo en cualquier completar categoría. En efecto, por la Yoneda lema es suficiente para probar que $\hat{f}^* : Hom_\mathcal{C}(\_, \hat{X})\to Hom_\mathcal{C}(\_, \hat{X})$ es un isomorfismo natural; pero para esto es suficiente para probar que $\hat{f}^* : Hom_\mathcal{C}(Z, \hat{X})\to Hom_\mathcal{C}(Z, \hat{X})$ es un isomorfismo para todos los $Z$.

Pero la característica universal del límite indica que para todos los $Z$, $Hom_\mathcal{C}(Z, \hat{X})$ debe ser (naturalmente isomorfo a) el límite de $$\dots Hom_\mathcal{C}(Z, X)\to Hom_\mathcal{C}(Z, X)\to Hom_\mathcal{C}(Z, X)$$ (donde cada mapa es $f^*$) en la categoría de conjuntos, y usted puede probar que $\hat{f}^*=\widehat{f^*}$ que es un isomorfismo.