Dónde está mi solución equivocada para esta combinatoria problema?

Question

La pregunta es:

De cuántas maneras puedes arreglar seis $X$s en la figura dada, de modo que cada fila tiene al menos un $X$?

(Imagen tomada de la misma pregunta de Matemáticas de Cambio.)

Mi solución: tener $3$ $X$s en $3$ filas, hay $2 \cdot 4 \cdot 2$ maneras de colocarlos. Ahora quedan $5$ lugares más y tenemos $3$ $X$s restantes. Así que para cubrir los puestos restantes, hay $C^5_3$ maneras. Así que el número total de maneras en las $= 16 \cdot 10 = 160$. Pero la respuesta es $26$. Donde estoy equivocado? Gracias.

Answer 1

Usted está overcounting los arreglos. Por ejemplo, mediante la elección de tres $X$s en las tres filas y luego rellenar el resto de los lugares con tres $x$s, consideramos que equivale a las siguientes modalidades diferentes

 Xo    Xo    Xo    Xo
Xxxx  xXxx  xxXx  xxxX 
 Xo    Xo    Xo    Xo

Tenga en cuenta que tenemos $\binom{8}{6}$ maneras de colocar seis $X$s en los ocho células. A partir de este número le restamos $2$, las maneras de tener una fila vacía (la primera y la tercera): $$\binom{8}{6}-2=\frac{8\cdot 7}{2}-2=28-2=26.$$

Answer 2

El problema con su solución es que cuente mucho de las combinaciones de dos veces. Por ejemplo, si lo primero que agregar

 xo
xooo
 xo

y, a continuación, añadir el resto de los tres para formar

 xo
xxxx
 xo

es el mismo de la partida con

 xo
ooxo
 xo

y, luego, agregar el resto de la x para formar

 xo
xxxx
 xo

Ahora en vez de hacer la cosa difícil y la eliminación de los duplicados de su solución como esta: Solo lugar todas las x. Esto se puede hacer en $8 \choose 6$ maneras. Sin embargo, cuando se llene la parte superior de la fila y la fila del medio, o en la parte inferior de la fila y la fila del medio, hay una fila sin una x. Por lo tanto tenemos que restar $2$. Por lo tanto la solución es ${8 \choose 6 } - 2 = 26$.