¿Por qué debe ser la identidad aditiva y multiplicativa en un campo de ser diferente?

Question

Recientemente estaba leyendo sobre campos como $\mathbb {Z}_p$ y me pregunto cuál es la razón por la que no pueden ser el mismo elemento.

¿Es sobre la identidad del aditivo ser el único elemento con ningún inverso multiplicativo? Para ser honesto es lo único que viene a la mente pero aún no me dice por qué debe ser así.

Answer 1

Es posible definir un campo con un solo elemento, que tiene que ser la identidad aditiva y multiplicativa a la vez. Mayoría de las definiciones excluir esto de ser un campo. Si usted tiene al menos dos elementos en su campo y tratar de hacer las identidades lo mismo usted no. Llame a la común identidad $0$ y el otro elemento $a$. Pero entonces $$0 \cdot a=a\\(0-0)\cdot a=a\\0\cdot a - 0 \cdot a=a\\a-a=a\\0=a

Answer 2

Sea $x$ cualquier elemento de su campo. Entonces $1=0$ implica $$x = 1 x = x 0 = 0.$$ Por lo tanto su campo tiene sólo un elemento. Así, se puede permitir, pero entonces su campo es necesariamente trivial. Por lo tanto, si desea un campo con más de un elemento, tienes que tener $1 \neq 0$.

Answer 3

Un campo es lo mismo que un simple anillo comutativo. Pero el anillo trivial es demasiado simple para ser simple.

Answer 4

Si $\Bbb F$ es cualquier campo que

$\mathbf 1_{\Bbb F} = \mathbf 0_{\Bbb F}, \tag 1$

tenemos, por cualquier $\theta \in \Bbb F$,

$\theta = \theta \mathbf 1_{\Bbb F} = \theta \mathbf 0_{\Bbb F} = \mathbf 0_{\Bbb F}, \tag 2$

por lo $\Bbb F$ tiene un solo elemento, $\mathbf 0_{\Bbb F}$; si queremos evitar el caso trivial

$\Bbb F = \{ \mathbf 0_{\Bbb F} \}, \tag 3$

debemos suponer que

$\mathbf 1_{\Bbb F} \ne \mathbf 0_{\Bbb F}. \tag 4$

Nota Añadida en la Edición del jueves 16 de noviembre de 2017 9:52 AM PST: En "el espíritu" de Ross Millikan comentario, tenemos:

$\mathbf 0_{\Bbb F} = \mathbf 0_{\Bbb F} + \mathbf 0_{\Bbb F}, \tag 5$

desde $\mathbf 0_{\Bbb F}$ es la identidad aditiva. Entonces

$\theta \mathbf 0_{\Bbb F} = \theta(\mathbf 0_{\Bbb F} + \mathbf 0_{\Bbb F}) = \theta \mathbf 0_{\Bbb F} + \theta \mathbf 0_{\Bbb F}, \tag 6$

por la ley distributiva, de donde

$\theta \mathbf 0_{\Bbb F} = \mathbf 0_{\Bbb F}. \tag 7$

Final de la Nota.

Answer 5

Si $0=1$ en un anillo, como otros han comentado, luego de que el anillo contiene un solo elemento. Son muchas las propiedades que un campo tiene que simplemente no se sostienen por el anillo de $\{0\}$, aunque no hay divisores de cero. (Voy a seguir adelante y decir que es "no se considera un campo de nadie", en contraste con algunas de las otras respuestas. No puedo encontrar un solo libro o artículo donde este objeto es, literalmente, considerado como un campo, aunque a veces es tratada como una generalización de un campo de cierta combinatoria).

El hecho de que no tiene divisores de cero en un campo de $\mathbb{F}$ significa que $\mathbb{F} \setminus \{0\}$ nos da a (conmutativa) del grupo. Esto obviamente, no funciona si sólo tenemos un elemento en el campo, porque tirar la $0$ nos iba a dejar con el conjunto vacío.

Con frecuencia se desea trabajar con polinomios con coeficientes en un campo. ¿Cómo funciona esto si $0$ es el único elemento de campo?

Mirando a los ideales de un anillo de $R$, podemos definir un máximo ideales para una adecuada ideal I (por lo $I \subset R$) que no se encuentra en ningún otro ideal. A continuación, un campo puede ser caracterizado como un anillo para que $\{0\}$ es el único ideal maximal. Pero si $0$ es el único elemento de su campo, $\{0\}$ no es un buen ideal.

Por estas razones, se requiere un campo para tener una identidad multiplicativa $1 \neq 0$. Hay algunos casos en los que un "campo de un elemento" da algunos útiles de interpretación, hay algunos conceptos geométricos que se prestan a pensar de esta manera, y viene en la categoría de teoría para ayudar a unificar algunos conceptos, pero cuando este llega hasta allí son generalmente brillante renuncias diciendo que esto no es literalmente un campo.