Esta es una avanzada de alto problema de la escuela.
Encontrar todos los naturales de $x,y$, e $z$ tal que $3^x + 4^y = 5^z$.
La única solución obvia que puedo ver es $x=y=z=2$. Hay otras soluciones?
Esta pregunta ya tiene respuestas:
- Soluciones integrales positivas de$3^x+4^y=5^z$ (3 respuestas )
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Ed Krohne
Puntos
67
Nota $$2^z\equiv (3+2)^z=5^z=3^x+4^y\equiv 0+1=1\pmod 3$$
así $z$ es número par,vamos a $z=2z_{1}$,luego tenemos $$(5^{z_{1}}+2^y)(5^{z_{1}}-2^y)=3^x$$ así tenemos $$5^{z_{1}}+2^y=3^x,5^{z_{1}}-2^y=1$$ entonces tenemos $$(-1)^{z_{1}}+(-1)^y\equiv 0\pmod 3,(-1)^{z_{1}}-(-1)^y\equiv 1\pmod 3$$ así que tenemos $z_{1}$ es impar,$y$ es incluso,deje $y=2y_{1}$ tenemos $$(4+1)^{z_{1}}+4^{y_{1}}=(4-1)^x\Longrightarrow (-1)^x\equiv 1\pmod 4$$ por lo $x$ es también incluso.
si $y>2$, desde $$5^{z_{1}}+2^y=3^x\Longrightarrow 5\equiv 1\pmod 8$$ que no es imposible.así $y=2\Longrightarrow z_{1}=1,z=2,x=2$$
Primer mod el todo por 3, a continuación,$1^y = 2^z$, lo $z = 2z_2$ algunos $z_2\in\mathbb{N}$. Por lo $3^x = 5^{2z_2} - 2^{2y} = (5^{z_2} + 2^y)(5^{z_2} - 2^y)$.
Si $5^{z_2} - 2^y\ne 1$), luego por el modding de cada factor por 3 nos encontramos con que $z_2\ne y \mod 3$$z_2 = y \mod 3$, contradicción.
Podemos invocar Mihăilescu del teorema para encontrar ese $x = y = z = 2$.
