Prueba que $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ es estrictamente monotona

Question

Soy un estudiante de matemáticas de primer año, y en mi clase de análisis estoy teniendo problemas para demostrar lo siguiente:

Sea $a < b$ números reales, y sea $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ una función que es continua e inyectiva. Demuestra que $f$ es estrictamente monótona.

Hasta ahora, solo creo que debo dividir esto en tres casos:
Caso 1: $f(a) = f(b)$. Con el hecho de que $f$ es inyectiva, esto lleva a una contradicción.
Caso 2: $f(a) < f(b)$. En este caso, creo que debo utilizar la contradicción anterior, y de alguna manera el teorema del valor intermedio, para mostrar que $f$ es estrictamente monótona creciente pero no sé cómo.
Caso 3: $f(a) > f(b)$. Aquí creo que debo demostrar que $f$ es estrictamente monótona decreciente. Pero nuevamente, no tengo idea de cómo hacerlo.

¿Podría alguien ayudarme con esto?

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Como mencionaste en tu publicación, $f(a) = f(b)$ no es posible, porque $f$ es inyectiva. Supongamos que $f(a) < f(b)$. Ahora supongamos que $c \in (a,b)$. Supongamos que $f(c) > f(b)$. Por el teorema del valor intermedio, existe un $d_1 \in (a,c)$, tal que $f(d_1) = \frac{f(b) + f(c)}{2}$, y existe un $d_2 \in (c,b)$, tal que $f(d_2) = \frac{f(b) + f(c)}{2}$. Dado que $d_1 \neq d_2$, esto es una contradicción con la inyectividad de $f$. Así que tenemos $f(c) < f(b)$. De hecho, $f(c) = f(b)$ tampoco es posible, debido a la inyectividad de $f$. Usa el mismo argumento para demostrar que $f(a) < f(c)$. Ahora sabemos que $$ f(a) < f(c) < f(b) \quad \text{para cada } c \in (a,b) \; .$$ Ahora, sean $x,y \in (a,b)$ con $x < y$. Debemos mostrar que $f(x) < f(y)$. Para un punto arbitrario $c \in (x,y)$ tenemos $f(a) < f(c) < f(b)$. Ahora, considerando $f_{|[a,c]}$ (que también es inyectiva y continua) y el razonamiento anterior, deducimos $f(a) < f(x) < f(c)$. Al considerar $f_{|[c,b]}$ y el razonamiento anterior, deducimos $f(c) < f(y) < f(b)$, entonces en resumen tenemos $$ f(a) < f(x) < f(c) < f(y) < f(b) \; ,$$ lo cual es lo que queríamos mostrar. Así que $f$ es estrictamente creciente.

Puedes usar un argumento similar para el caso $f(a) > f(b)$, y descubrirás que $f$ es estrictamente decreciente en ese caso.

Answer 2

Pista:

Supongamos que $f$ no es estrictamente monótona, continua e inyectiva.

Entonces existen $x, y, z$ tal que $a < x < y < z < b$ y $f(x) < f(y) > f(z)$ o $f(x) > f(y) < f(z)$. (Intenta demostrar que si no, la función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente)

Pero como $f$ es continua, $f$ toma todos los valores en $[f(x), f(y)]$ y $[f(z), f(y)]$ en el primer caso. ¿Puedes obtener una contradicción a partir de aquí?

Answer 3

Supongamos que $f(a) < f(b)$. Vamos a demostrar que $f(a)$ es el valor mínimo de $f$ y $f(b)$ es el valor máximo de $f$ en el intervalo $[a, b].

Vamos a exponer el argumento para el valor máximo de $f$. Sea $M = f(c)$ el valor máximo de $f$. Claramente, dado que $f(a) < f(b)$ entonces $a < c \leq b$. Si $c = b$ hemos terminado con la demostración. Por tanto, asumimos que $a < c < b$ para que el valor máximo $M$ se alcance en un punto interior $c$. Entonces, tenemos $f(a) < f(b) < M = f(c)$ y si tomamos un número $k$ con $f(b) < k < f(c) = M$ también tenemos $f(a) < k < f(c) = M$ y por lo tanto, por el teorema del valor intermedio, existe un $x_{1} \in (a, c)$ y un $x_{2} \in (c, b)$ tales que $f(x_{1}) = f(x_{2}) = k$. Esto no es posible porque $f$ es inyectiva. Concluimos que $c = b$ y por lo tanto, el valor máximo de $f$ es $f(b)$. De manera similar, podemos mostrar que $f(a)$ es el valor mínimo de $f$.

Ahora es fácil ver que hemos terminado. Sean puntos $x, y \in [a, b]$ con $a \leq x < y \leq b$. Dado que $f(a)$ es el valor mínimo de $f$, debemos tener $f(a) < f(y)$ y dado que la función $f$ es continua e inyectiva en el subintervalo $[a, y]$, se sigue del argumento en el párrafo anterior que $f(y)$ es el valor máximo de $f$ en $[a, y]$, entonces $f(x) < f(y)$. Así que $f$ es estrictamente creciente en $[a, b]$.

El mismo argumento se puede continuar casi palabra por palabra si $f(a) > f(b)$ y en este caso $f(a)$ es el valor máximo y $f(b)$ es el valor mínimo de $f$ y la función es estrictamente decreciente.