Puntos fijos de un holomorphic un mapa simplemente conectado dominio

Question

Dado un holomorphic mapa de $f: \Omega\to \Omega$ donde $\Omega$ es simplemente conectado dominio en $\mathbb{C}$, es el número de puntos fijos en la mayoría de las $1$ si $f$ no es el mapa de identidad? Cuántos podían ser?

Por el Mapeo de Riemann Teorema, soy capaz de reducir el problema a la búsqueda de un punto fijo de un holomorphic mapa de la unidad de disco a sí mismo. ¿Cómo debo proceder?

Gracias.

Answer 1

Si $\Omega=\mathbb{C}$, no puede ser arbitrariamente muchos (considere el $z\mapsto z^n$). (Edit: Véase también el de Leandro respuesta para más información sobre este caso.)

Sin embargo, si nosotros no permitir esto y requieren $\Omega\ne \mathbb{C}$, entonces, a menos que f es la identidad no puede haber más de 1. Por si $\Omega \ne \mathbb{C}$ e f tiene un punto fijo, entonces por la definición de la integral de asignación teorema podemos deducir $\Omega=D$, al abrir la unidad de disco, y la aplicación de fracciones de transformaciones lineales podemos asumir que el punto fijo 0. Entonces el lema de Schwarz muestra que si hay otros puntos fijos, f debe ser de la forma $z\mapsto cz$ para algunos c, y la única manera que esto puede tener otros puntos fijos es para c 1, haciendo f de la identidad.

Answer 2

El número de puntos fijos para tal holomorphic mapa no tiene que ser finito.

Considere, por ejemplo, la asignación de $f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$$f(z) = z\cos(z)$. A continuación, un punto fijo de $f$ es sólo un punto de $z$ donde $\cos(z) = 1$, y sabemos que hay infinitamente muchos de esos $z$.

Sin embargo, el conjunto de puntos fijos no puede tener una acumulación de punto, de lo contrario, el Principio de Identidad se aplica y $f$ debe ser el mapa de identidad. Esto, al menos, implica que el número de puntos fijos deben ser contables, para cada innumerables subconjunto de $\mathbb{C}$ tiene un punto de acumulación.