¿Cuál es el propósito de funciones características?

Question

Estoy esperando que alguien puede explicar, en términos sencillos, lo que es una característica de la función es y cómo se utiliza en la práctica. He leído que es la transformada de Fourier de la pdf, así que supongo que sé lo que es, pero todavía no entiendo su propósito. Si alguien pudiera proporcionar una interfaz intuitiva descripción de su finalidad y tal vez un ejemplo de cómo se utiliza normalmente, eso sería fantástico!

Sólo una última nota: he visto la página de la Wikipedia, pero al parecer soy demasiado denso para entender lo que está pasando. Lo que estoy buscando es una explicación que alguien que no esté inmerso en las maravillas de la teoría de la probabilidad, por ejemplo, un científico de la computación, podría entender.

Answer 1

De vuelta en el día, la gente usa el logaritmo de las tablas de multiplicar de los números más rápido. ¿Por qué es esto? Logaritmos convertir la multiplicación de adición, ya que los $\log(ab) = \log(a) + \log(b)$. Así que para multiplicar dos números grandes $a$$b$, se encontró con sus logaritmos, agregó la logaritmos, $z = \log(a) + \log(b)$, y luego miró a $\exp(z)$ en otra tabla.

Ahora, característica de las funciones de hacer una cosa similar para las distribuciones de probabilidad. Supongamos $X$ tiene una distribución $f$ $Y$ tiene una distribución $g$, e $X$ $Y$ son independientes. A continuación, la distribución de $X+Y$ es la convolución de $f$ y $g$, $f * g$.

Ahora la función característica es una analogía de la "logaritmo de la mesa de truco" para convolución, ya que si $\phi_f$ es la función característica de a $f$, entonces la siguiente relación se mantiene:

$$ \phi_f \phi_g = \phi_{f * g} $$

Además, también como en el caso de los logaritmos,es fácil encontrar la inversa de la función característica: dado $\phi_h$ donde $h$ es una incógnita la densidad, se puede obtener un $h$ por la inversa de la transformada de Fourier de $\phi_h$.

La función característica convierte convolución para la multiplicación de las funciones de densidad de la misma manera que los logaritmos convertir la multiplicación en la adición de números. Ambas transformaciones convertir un relativamente complicada operación relativamente sencilla.

Answer 2

@carlos.y.zheng y @cardenal dieron muy buenas respuestas, voy a añadir mi granito de arena. Sí, la función característica podría parecer innecesaria complicación, pero es una poderosa herramienta con la que podrás obtener resultados. Si usted está tratando de demostrar algo con función de distribución acumulativa siempre es recomendable revisar si no es posible obtener el resultado con la función característica. Esto a veces da muy corto pruebas.

Aunque en un principio la función característica parece poco intuitivo forma de trabajar con distribuciones de probabilidad, hay algunos poderosos resultados directamente relacionados con la misma, lo que implica que usted no puede deshacerse de este concepto como una mera matemática de diversiones. Por ejemplo, mi favorito resultado en la teoría de la probabilidad es que cualquier infinitamente divisible distribución tiene la exclusiva de Lévy–Khintchine representación. Combinado con el hecho de que el infinitamente divisible distribuciones son la única posibilidad de distribución de límites de sumas de variables aleatorias independientes (excepto extraño de los casos) este es un profundo resultado de que el teorema del límite central se deriva.

Answer 3

El propósito de funciones características es que puede ser utilizado para derivar las propiedades de las distribuciones en la teoría de la probabilidad. Si usted no está interesado en tales derivaciones usted no necesita aprender acerca de las funciones características.

Answer 4

La función característica es la transformada de Fourier de la función de densidad de la distribución. Si usted tiene alguna intuición sobre las transformadas de Fourier, este hecho puede ser esclarecedor. La historia en común acerca de las transformadas de Fourier es que ellos describen la función 'en el espacio de frecuencia.' Desde una densidad de probabilidad es generalmente unimodal (al menos en el mundo real, o en los modelos sobre el mundo real), esto no parece tan interesante.