Para evitar el uso de variables aleatorias como límites de sumatorias, podrías escribir $$ [B_n\leqslant k]=\bigcup_{i=0}^{k-1}\left([S_{n-1}=i]\cup\bigcup_{\ell=i+1}^k[x_\ell\lt a]\right). $$ Si $S_{n-1}$ es un tiempo de parada, cada $[S_{n-1}=i]$ en el RHS está en $F_k$ ya que $i\leqslant k$, al igual que cada $[x_\ell\lt a]$ para todo $\ell\leqslant k$, por lo tanto $[B_n\leqslant k]$ está en $F_k$, lo que probaría que $B_n$ es también un tiempo de parada. De manera similar, $$ [S_n\leqslant k]=\bigcup_{i=0}^{k-1}\left([B_{n}=i]\cup\bigcup_{\ell=i+1}^k[x_\ell\gt b]\right), $$ entonces, si $B_{n}$ es un tiempo de parada, cada $[B_n=i]$ en el RHS está en $F_k$ ya que $i\leqslant k, al igual que cada $[x_\ell\gt b]$ para cada $\ell\leqslant k$, por lo que $[S_n\leqslant k]$ está en $F_k$, lo que probaría que $S_n$ es también un tiempo de parada. Comenzando desde $S_0=0$, que es un tiempo de parada, se ve por recursión que cada $S_n$ y cada $B_n$ son tiempos de parada.
En cuanto a $U(a,b)$, nota que $$ U_N(a,b)=\sum_{n=1}^{+\infty}\mathbf 1_{S_n\leqslant N}. $$ Dado que cada $[S_n\leqslant N]$ está en $F_N$ y $F_N\subseteq F_\infty$, cada $U_N(a,b)$ es medible respecto a $F_\infty$. Por lo tanto, también lo es su límite puntual $U(a,b)$.
