Traspasando medible

Question

Para los cruces ascendentes hemos definido $S_{n}=\inf \{k>B_{n}:x_{k}>b\}$ y $B_{n}=\inf \{k>S_{n-1}:x_{k}

Se afirma que $S_{n}$ y $B_{n}$ son tiempos de parada ($\{S_{n}\leq k\}\in F_{k}$) y que $U_{N}(a,b)$ es $F_{N}$-medible y $U(a,b)$ es $F_{\infty}$-medible,

Creo que logré demostrar que $B_{n}$ y $S_{n}$ son tiempos de parada mediante: $$\{B_{n}\leq k\}=\bigcup_{i=S_{n-1}}^{k}\{x_{i}

Me preguntaba si he hecho esto correctamente y no tengo idea de cómo probar la segunda parte. ¿Alguien podría ayudarme con esto?

Answer 1

Para evitar el uso de variables aleatorias como límites de sumatorias, podrías escribir $$[B_n\leqslant k]=\bigcup_{i=0}^{k-1}\left([S_{n-1}=i]\cup\bigcup_{\ell=i+1}^k[x_\ell\lt a]\right).$$ Si $S_{n-1}$ es un tiempo de parada, cada $[S_{n-1}=i]$ en el RHS está en $F_k$ ya que $i\leqslant k$, al igual que cada $[x_\ell\lt a]$ para todo $\ell\leqslant k$, por lo tanto $[B_n\leqslant k]$ está en $F_k$, lo que probaría que $B_n$ es también un tiempo de parada. De manera similar, $$[S_n\leqslant k]=\bigcup_{i=0}^{k-1}\left([B_{n}=i]\cup\bigcup_{\ell=i+1}^k[x_\ell\gt b]\right),$$ entonces, si $B_{n}$ es un tiempo de parada, cada $[B_n=i]$ en el RHS está en $F_k$ ya que $i\leqslant k, al igual que cada$[x_\ell\gt b]$para cada$\ell\leqslant k$, por lo que$[S_n\leqslant k]$está en$F_k$, lo que probaría que$S_n$es también un tiempo de parada. Comenzando desde$S_0=0$, que es un tiempo de parada, se ve por recursión que cada$S_n$y cada$B_n$ son tiempos de parada.

En cuanto a $U(a,b)$, nota que $$U_N(a,b)=\sum_{n=1}^{+\infty}\mathbf 1_{S_n\leqslant N}.$$ Dado que cada $[S_n\leqslant N]$ está en $F_N$ y $F_N\subseteq F_\infty$, cada $U_N(a,b)$ es medible respecto a $F_\infty$. Por lo tanto, también lo es su límite puntual $U(a,b)$.