Comparar determinantes de matrices con diferentes dimensiones

Question

Leyendo sobre matrices y determinantes me pregunto sobre el siguiente concepto:

¿Qué validez tiene comparar los determinantes de matrices con diferentes dimensiones? Por ejemplo, comparar un determinante $D1$ derivado de un $N\times N$ con el determinante $D2$ derivado de un $M\times M$ matriz.

He leído que el determinante representa el volumen del $N-$ objeto dimensional que está definido por los elementos de la matriz.

Si esto es correcto, la comparación de volúmenes de diferentes "objetos" no parece tan incorrecta. Pero teniendo en cuenta que estos "objetos" provienen de dos espacios diferentes (un $N-$ dimensiones y un $M-$ dimensional) ¿qué validez tiene eso?

Answer 1

Considere una identidad o una desigualdad de la siguiente forma:

$$\tag{*} \det A_n=C\cdot \det B_m, \qquad [\text{or }\le,\ \text{or }\ge], \qquad \forall A_n\in \mathcal{A},\ \forall B_m\in \mathcal{B}.$$

Aquí $C$ es una constante y $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ son algunas familias de $n\times n$ y $m\times m$ matrices.

Si $n\ne m$ entonces la relación $(*)$ tiene muchas posibilidades de ser incorrecta y debe ser considerada con sospecha si se presenta en los cálculos reales. En concreto, si $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ se cierran bajo la escala, es decir

$$ (A\in \mathcal{A},\ B\in \mathcal{B},\ \lambda\ge 0)\ \Rightarrow\ \lambda A\in \mathcal{A}\ \text{and}\ \lambda B \in \mathcal{B}, $$

entonces $(*)$ es incorrecto (excepto en casos triviales, como tener $C=0$ y similares). De hecho, si $(*)$ se mantiene, entonces uno debería tener

$$ \lambda^n\det A_n = C\cdot \lambda^m\det B_m, \qquad [\text{or }\le,\ \text{or }\ge],$$

lo que obliga a una contradicción en el límite $\lambda \to 0$ o $\lambda \to \infty$ (excepto el caso trivial de una identidad $0=0$ Por supuesto).

Esto se suele llamar argumento de escala .