En principio sólo podría integrar el sistema acoplado de Newton-Lorentz-ecuaciones de Maxwell, pero esto es difícil. :) Si la radiación reacción no es importante, entonces este es solo el regular dos cuerpo a cuerpo problema con el Coulomb la fuerza en lugar de la fuerza gravitacional. En la práctica real que me gustaría utilizar una perturbación de la teoría basada en los dos cuerpo a cuerpo problema con la radiación de la fuerza de reacción como una pequeña perturbación.
Usted podría desarrollar una sistemática de la teoría de la perturbación , si quieres. La idea clave es bien descrito por Wikipedia:
Teoría de la perturbación se compone de los métodos matemáticos que se utilizan para encontrar una solución aproximada a un problema que no puede resolverse exactamente, a partir de la solución exacta de un problema relacionado. Teoría de la perturbación es aplicable si el problema puede ser formulado mediante la adición de un "pequeño" plazo para la descripción matemática de exactamente el problema solucionable.
Aquí el problema relacionado con una solución exacta es el movimiento de una partícula libre y el pequeño es el parámetro de la pequeña aceleración experimentada por la partícula. Lo que haría es ampliar cada cantidad en una serie de pequeñas correcciones. Podemos utilizar un parámetro de $\lambda$ a contar el fin de pequeñez (al final del día vamos a establecer $\lambda=1$):
$$\begin{array}{rl}
r &= r_0 + \lambda r_1 + \lambda^2 r_2 + \cdots \\
v &= v_0 + \lambda v_1 + \lambda^2 v_2 + \cdots \\
a &= \lambda a_1 + \lambda^2 a_2 + \cdots \\
\end{array}$$
La clave de la cosa a notar es que la aceleración se inicia con una orden de pequeñez. Usted va a sustituir en la exacta de las ecuaciones de movimiento, expanda todo, y coincide con el término de la misma orden. Lo que vas a conseguir es una serie de ecuaciones: la primera describe el movimiento de una partícula libre, el segundo describe el primer pedido de corrección debido a la aceleración, el tercero describe el siguiente orden de corrección debido al hecho de que el corregido cambios de trayectoria, la aceleración ligeramente (desde $r_1$ feeds en $a_2$), y así sucesivamente... tienen Que presumiblemente ya resuelto las dos primeras ecuaciones de esta jerarquía.
Este ejemplo en particular es un poco desordenado. En caso de que usted no ha visto nada de esto antes de que me va a ilustrar la mecánica básica con un sencillo ejemplo en el que se conoce la solución exacta. Considere la ecuación cuadrática
$$ x^2 - 2\epsilon x - 1 =0, $$
donde $\epsilon$ es un pequeño número real que representa la perturbación. Sabemos que las soluciones exactas son
$$ x = \epsilon \pm \sqrt{1+\epsilon^2}. $$
Pero supongamos que no sabía de que. Todavía podemos avanzar por escrito
$$ x = x_0 + \epsilon x_1 + \epsilon^2 x_2 + \cdots. $$
Sustituyendo en la ecuación cuadrática y la recolección de términos por parte de los poderes de $\epsilon$ da
$$ (x_0^2-1) + \epsilon (2 x_0 x_1 - 2 x_0) + \epsilon^2 (2 x_0 x_2 + x_1^2 - 2 x_1) + \cdots = 0, $$
donde nosotros sólo mantener los términos a a $\epsilon^2$ debido a que sólo se expandió $x$ que mucho. Ahora todos los pedidos en $\epsilon$ tiene que desaparecer por separado. (¿Por qué? Porque si usted tenía una cancelación entre los términos de orden diferente, lo que significaría que sus coeficientes son de tamaños muy diferentes, en el sentido de su perturbación no es realmente tener un pequeño efecto en la solución, es decir, la teoría de la perturbación es fundamentalmente roto. Este es el caso de una estructura inestable del sistema: una pequeña perturbación cambios en el comportamiento completamente. Usted podría tratar de identificar otro pequeño parámetro donde la escala se comporta mejor.) Así que esto le da una serie de ecuaciones:
$$\begin{array}{rl}
x_0^2 - 1 &= 0, \\
2 x_0 x_1 - 2 x_0 &= 0, \\
2 x_0 x_2 + x_1^2 - 2 x_1 &= 0, \\
\vdots
\end{array}$$
La primera ecuación es la imperturbable problema con las soluciones exactas $x_0 = \pm 1$. Tenga en cuenta que el resto de las ecuaciones que determinan el orden siguiente de la solución en términos de las menores cantidades de la orden. Ahora hay dos opciones de $x_0$ a base de la serie de perturbación. En este caso ambos dan soluciones válidas. Voy a recoger $x_0 = +1$ por ahora y vamos a desarrollar la otra solución. Ahora vamos a utilizar esta $x_0$ en la ecuación de $x_1$:
$$ 2 x_1 - 2 = 0 \implies x_1 = 1. $$
Ahora vamos a utilizar $x_0,x_1$ en la ecuación de $x_2$:
$$ 2 x_2 + 1 - 2 = 0 \implies x_2 = \frac{1}{2}. $$
Así que nuestra solución es
$$ x = x_0 + \epsilon x_1 + \epsilon^2 x_2 + \cdots = 1 + \epsilon + \frac{1}{2}\epsilon^2 + \cdots. $$
Si se compara esto a la expansión en series de Taylor de la solución exacta $x=\epsilon+\sqrt{1+\epsilon^2}$ verá que son exactamente el mismo. :)
En este sencillo problema de la teoría de la perturbación es sin duda una exageración, pero en una complicada situación física es a menudo esencial, y por lo general el menor par de pedidos son bastante exactitud en la práctica si la teoría de la perturbación va a ser útil a todos. Hay muchas maneras en que la teoría de la perturbación puede ir mal, o al menos llegar a ser muy complicado, pero es una poderosa herramienta para tener en su cinturón de todos modos.
